Dérivée seconde

Utilisation de la calculatrice TI 89 Titanium La TI 89 permet de faire du calcul formel, c'est à dire de calculer des dérivées, des primitives, de résoudre des équations y compris avec des paramètres, de factoriser des polynômes ou de développer des expressions, de calculer des intégrales... et encore d'autres choses. Elle permet aussi de faire des calculs en "valeur exacte", donc sans donner d'approximation pour les racines carrées, les logarithmes ou les constantes comme e ou π, ou en valeur approchée

C cx2 C


C dxn sont continues sur R. 3. Dérivée d’une fonction Définition 3.1 Soit f WD ! R une fonction et x0; x1 2 D. On appelle taux de variation de f entre x0 et x1 le rapport  D f .x1/ f .x0/ x1 x0 x0 x1 f(x0) f(x1) Δ x Δ f Pente = τ Définition 3.2 Soit f WD ! R et x0 2 D. On dit que f est dérivable en x0 si la limite ` D lim x!x0 f .x/ f .x0/ x x0 existe et est finie. On la note alors f 0.x0/. On appelle dérivée de f en x0 le réel f 0.x0/. x0 f(x0) T Pente

novembre 2012 EXERCICE CONTRÔLE N Tle ES Durée 2 heures 3 O ( 4 points ) 6 Soit f la fonction définie pour tout réel x par f (x) = ex + 1 . ex 1. On note f ′ la dérivée de la fonction f . a) Calculer f ′ (x). b) Donner le tableau de variations de f . c) En déduire que pour tout réel x, ex + e−x 2. 2. On note f ′′ la dérivée seconde de la fonction f . a) Montrer que pour tout réel x, f ′′ (x) = f (x). b) Étudier la convexité de la fonction f . EXERCICE ( 4,5 points ) 7 5 Soit f la fonction

de la poutre et le moment de flexion : EIGZy''x=Mfz(x) Avec : 187261559690E : Module de Young IGZ :moment Quadratique par rapport a l’axe (G ,z)mm4 Y’’(x) : Dérivée seconde de la déformée Mfz(x) :moment de flexion N.mm 00E : Module de Young IGZ :moment Quadratique par rapport a l’axe (G ,z)mm4 Y’’(x) : Dérivée seconde de la déformée Mfz(x) :moment de flexion N.mm Etude des cas :1er cas : Poutre encastré supportant une charge concentrée à son extrémité: Schématisation : y˙

représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé. Exercice 3 - Logarithme - L1/Math Sup 1. On calcule la dérivée seconde de f qui vaut : f (x) = − 1 x2 ln(x) − 1 x2 ln2 (x) . Cette fonction est négative sur ]1, +∞[. Donc la fonction est concave. 2. Par concavité de f , on a : ln ln a+b 2 ≥ √ 1 (ln ln a + ln ln b) = ln ln a ln b . 2 Passer à l’exponentielle

................ 1    En combinant les concepts de dérivée première et seconde, il est maintenant possible  de tracer le graphe d'une fonction avec une précision surprenante : la dérivée première  représente  la  pente  d'une  fonction  et  permet  de  déterminer  la  croissance  ou  la  décroissance de celle‐ci ; les points stationnaires et critiques permettent d'obtenir des  minima et des maxima locaux (sinon absolus) ; la dérivée seconde décrit la courbure de  la fonction.     Il  est  primordial 

Fonction dérivée et fonctions primitives 1. Fonction dérivée Si une fonction f est définie et dérivable pour tout réel a d’un intervalle I, alors f est dérivable sur cet intervalle. La fonction qui à tout réel a associe, s’il existe, le nombre dérivé f ′ ( a ) est la fonction dérivée notée f ′ de la fonction f. La fonction f ′ est telle que : f ′ : I → . x f ′(x) La fonction f ′ est aussi appelée dérivée première de f. Si la fonction f ′ est dérivable sur un intervalle I, sa dérivée est la dérivée seconde

Définition de la fonction dérivée   Soitun intervalle de  et soit f une fonction définie sur .  On dit que la fonction f est dérivable sur  si elle  est dérivable en tout nombre réel  de . Dans ce cas, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé  de f en  s’appelle la fonction dérivée de f. On la note :            Exemple   Soit f la fonction définie sur  par :  Soit  On a :        Lorsque h tend vers 0,  tend vers  donc  La fonction f est donc dérivable en , pour tout 

affine de cette fonction en ce point — si cette approximation affine existe. La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La notion de nombre dérivé a vu le jour au XVIIe siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». La dérivée de la fonction f\, est notée en mathématique f'\, ou \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm

directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point. (Ce nombre n'est donc défini que si cette tangente — ou cette approximation — existe.) La dérivée en un point d'une fonction à plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée ici. La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La notion de nombre dérivé a