Dérivée seconde

...... 4 Modèle Matrice (m x n) ............................... 4 Modèle Somme (G) ....................................... 4 Modèle Produit (Π) ...................................... 4 Modèle Dérivée première ........................... 4 Modèle Dérivée seconde ............................. 5 Modèle Dérivée n-ième ............................... 5 Modèle Intégrale définie ............................ 5 Modèle Intégrale indéfinie ......................... 5 Modèle Limite .........................

et a – h sont dans Df et f(a – h) = f(a + h) • Le point de coordonnées (a ; b) est centre de symétrie pour la courbe représentative de la fonction f si et seulement si ∀ h ∈ , a + h et a – h sont dans Df et f(a – h) + f(a + h) = 2b 2. POLYNOMES DU SECOND DEGRE Définition-Théorème: Une fonction P définie sur est appelée fonction polynôme lorsqu'il existe un entier naturel n et des nombres réels an, an–1, ……, a1, a0 tels que, pour tout x ∈ I, R, on ait: P(x) = anxn + an–1xn–1 + …… + a1x + a0 Toute fonction

Chapitre 11 Chapitre 11. Équations différentielles Activités et applications 2. Équations du second ordre (STI2D/STL SPCL) 1. Équations du premier ordre Activité. Somme de deux solutions d’une équation différentielle linéaire Activité. Solutions d’une équation différentielle 1. g(x) = cos 2x, g’(x) = – 2 sin 2x, g”(x) = – 4 cos 2x. On a alors g”(x) + 4g(x) = – 4 cos 2x + 4 cos 2x = 0. La fonction est solution. 2. Même calcul avec h. 3. k”(x) = g”(x) + h”(x). Donc k”(x) + 4k(x) = g”(x) + h”(x)

Micro-économie Approfondie: Introduction à la Théorie des Jeux et Applications à l’Organisation Industrielle Exercice 1 : 1. (7 points) Pour un niveau donné q0 de la production initiale de la firme installée, déterminons l’équilibre de Cournot-Nash du jeu de seconde période. Déterminons les fonctions de réaction des deux joueurs. Face à la stratégie q2 de sa concurrente, l’entreprise 1 résout le problème suivant max (1 − q1 − q2 − c) q1 0≤q1 Ce problème d’optimisation sous contrainte d’inégalité se résout

free.fr/ http://quedisentleseconomistes.blogspot.com/ Outils mathématiques à connaître : 1) Etude d’une fonction : - calcul de la dérivée première (fonction croissante si f’(x)≥0 et décroissante si f’(x)≤0) - calcul de la dérivée seconde (fonction convexe si f’’(x)≥0 et concave si f’’(x) )≤0) - recherche des extremums : recherche des points d’annulation de la dérivée et définition du type d’extremum (maximum si f’’(x)<0 et minimum si f’’(x)>0) 2 2) Résolution d’un programme de maximisation Exemple

ce contexte, rien ne s'oppose à calculer le sinus ou le cosinus d'un nombre quelconque. Ces fonctions sont omniprésentes dans la description de phénomènes oscillatoires ou ondulatoires. 2. Dérivées On ne donnera ici que des indications pratiques, sans démonstration. 2.1. Qu'est-ce que c'est ? La dérivée d'une fonction f(x) est donnée par : f ( x + δ x) − f ( x) df δf = lim =lim δ x dx δ x→0 δx déf δ x →0 On peut écrire indifféremment Par exemple, si f(x) = x3 : f ( x ) = x3 f ( x + δ x) = ( x

Exponentielle 2 Lecture graphique d’une pente = TMS 3 Comportement à long terme = les Limites 4 Equations – Inéquations : théorème des valeurs intermédiaires Leçon 3 : Calcul différentiel – Dérivées Partielles page 10 1 Dérivées partielles – différentielle et interprétation en économie 2 Fonctions de Cobb – Douglas - TMS - Elasticités Leçon 4 : Optimisation sous contrainte – Lagrangien page 13 1 méthode

................................................................. 4 I. Notion de Continuité 4 II. Les Limites 5 Chapitre II : Dérivation et Etude de fonctions ....................................................... 11 I. Nombre dérivé - Fonction dérivée 11 II. Dérivation et Etude de fonction 12 III. Equation d’une tangente à une courbe 13 IV. Dérivation et Valeur Intermédiaire 14 Chapitre III : Calcul intégral..................................................................................... 15

|z'| On appelle conjugué du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,  le nombre complexe z = a - bi .    1= z z =z ; | z | = |z| ; Si z # 0 • z |z|2   • z. z = |z|2 (donc z. z est un réel positif) • z + z' = z + z'   Équation du second degré à coefficients réels L'équation az2 + bz + c = 0, où a, b et c sont des réels (avec a # 0) admet dans C deux solutions (éventuellement confondues). I Soit ∆ = b2 - 4ac le discriminant de l'équation. ∆ est un nombre réel. • si ∆ ³ 0 , les deux

Nombres complexes z = |z| z' |z'| On appelle conjugué dunombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, le nombre complexe z = a - bi .    1= z z =z ; | z | = |z| ; Si z # 0 • z |z|2   • z. z = |z|2 (donc z. z est un réel positif) Équation du second degré à coefficients réels http://xmaths.free.fr/ |z + z'| £ |z| + |z'| 1/4 Si z = r(cos θ + i sin θ) alors  • z = r(cos(-θ) + i sin(-θ)) M r = |z| sin θ θ O 1 cos θ et • - z = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π)) http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche