Dérivée

Lois normales et autres lois dérivées 1 - Lois normales a) - Définition et , notée N ( ; ), On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres 1 t– si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) = Si = 0 et – 1 e 2 2 2 . = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite. Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce

à la notion de dérivée partielle. La notion de dérivée partielle : On peut définir pour les fonctions de plusieurs variables, non pas des dérivées mais une notion approchant : les dérivées partielles. Rappel : Vous vous souvenez que pour une fonction, la dérivée en un point x est la limite quand elle existe du rapport f(x+(x)-f(x)/ (x quand (x tend vers 0. on la note f’(x). graphiquement c’est la pente de la tangente à la courbe représentative de f(.). intuitivement la dérivée donne une approximation

caractérise par la dérivée première et positif dérivée seconde négative. Rendements d'échelle croissants. L'augmentation de la quantité d'utilisation du facteur de production détermine une augmentation plus que proportionnelle de la quantité du produit fini. Par exemple, une augmentation de 10% de la population active détermine une augmentation de 15% de la production. Dans le cas de rendements d'échelle fonction de production est à la hausse et se caractérise par la première dérivée positive et positive

successivement équivalente à : ln ex+1 > ln(12) x + 1 > ln(12) x > ln(12) − 1. L’ensemble S des solutions est S =] ln(12) − 1 ; +∞[ 2. Sans justification répondre aux questions suivantes : a. Donner la dérivée de la fonction f définie sur R par : f (x) = ex 2 +1 + x2. La dérivée f ′ de la fonction f est définie sur R par : f ′ (x) = 2xex 2 +1 + 2x. b. Donner une primitive de la fonction g définie sur R par : g (x) = 2e3x+1 . Une primitive G de la fonction g est définie

) [pic] permet d’ajouter une grandeur, expérimentale ou calculée. [pic] permet de supprimer une grandeur expérimentale. Dérivée 1ère possibilité : dans la fenêtre Graphe, tracer la tangente avec Curseur tangente et lire la dérivée à côté des coordonnées en bas du graphe. 2ème possibilité : dans la fenêtre Grandeur, créer la grandeur dérivée (voir « Créer une grandeur ») Entrer des données (fenêtre Grandeur ) Fichier, Nouveau, Clavier Entrer l’abscisse en premier 

= ∆t ' En faisant tendre ∆t vers 0, alors ∆t ' tend vers 0. On obtient donc pour tout t : d OM (t ') = dOM (t ) , car t’ tend vers t quand ∆t tend vers 0. v M (t ) = dt dt Définition du vecteur vitesse On appelle vecteur vitesse du point M la dérivée temporelle de son vecteur position Ses coordonnées sont des fonctions continues du temps. vM = dOM dt Propriété  v x   dx         dt     dy  vM =  vy  =      dt     dz  v     z   dt  Remarque Une fonction

corrigés Fonctions Exercices corrigés Fonctions 1. Généralités 1-1 : Comme une interro… 1-2 : Lecture graphique et interprétation 1-3 : Construction géométrique parabole 1-4 : Vrai/Faux sur les fonctions 1-5 : Vrai/Faux sur les dérivées 1-6 : Dérivées et variations 1-7 : Lecture graphique 1-8 : Tangente 2. Polynômes 2-9 : Second degré 1 (c) 2-10 : Second degré 2 (c) 2-11 : Second degré 3 (c) 2-12 : 3 ème degré 3 (c) 2-13 : Ficelle (c) 3. Fonctions rationnelles 3-14

Unicité Toute fonction temporelle [pic] possède une image unique [pic] ; et réciproquement. Linéarité - L’image de 0 est 0. - L’image de [pic] est [pic]. - L’image de [pic] est [pic]. Dérivation – Intégration - L’image de [pic], la dérivée de f est [pic] avec le plus souvent, [pic]. - L’image de [pic], la primitive de f est [pic]. Facteur d’échelle L’image de [pic]est [pic]. Retard et Amortissement - L’image de [pic]est [pic]. - L’image de [pic] est [pic]. Théorème

anti-repliement avant l'échantillonneur (CAN) pour diminuer les recouvrements de spectres. c) Bruit sur la dérivée : Le théorème de Shannon impose donc une période d’échantillonnage maximum, qu’en est-il de la période d’échantillonnage minimum ? La figure 1.27 montre que si la période d’échantillonnage tend vers 0, la dérivée calculée par le taux de variation entre deux périodes d’échantillonnage tend vers la dérivée de la fonction. Ceci n’est malheureusement vrai que dans le cas d’un signal sans bruit. Or les

NOM : ……….…………………………………………. Exercice 1 – dérivées diverses – ( 4 pts – 20 mn ) --------------------------------------- Calculer les dérivées des fonctions suivantes. On ne demande pas les domaines de dérivation. a) [pic] b) [pic] c)[pic] d) [pic] e) [pic] Exercice 2 – Les tangentes… ( 2.5 pts – 15 mn ) ----------------------------------------- |On considère la fonction f définie par |[pic] | |[pic]