Dérivée

n'existait pas et était représenté par le V. V PAGE 338 et 347 W Vav ou waw ( Le mot hébreu Vav signifie « crochet, clou ». Upsilon (capitale Υ, minuscule υ ; en grec ύψιλον) est la 20e lettre de l'alphabet grec, précédée par tau et suivie par phi. Dérivée de la lettre wau de l'alphabet phénicien, elle est l'ancêtre des lettres U, V, W et Y de l'alphabet latin Madame Dumontier rappelait que la lettre « W » avait été la dernière à être ajoutée à l’alphabet latin moderne en 1964 et que, lors de son

d'intégrale à paramètre. Bien sûr, on ne peut pas en général calculer explicitement la valeur de F(x) pour chaque x. Pour pouvoir étudier F, on a besoin de théorèmes généraux permettant de déterminer si F est continue, dérivable et de pouvoir exprimer la dérivée. Continuité d'une intégrale à paramètre Théorème : Soit f:I×J->R une fonction continue par morceaux telle que 1. Il existe une fonction g:J->R intégrable telle que, pour tout x de I et tout t de J, on a 2. Pour tout t de J, la fonction

temps Dans le menu « traitements », choisir « calcul spécifiques » puis « dérivée » Faire glisser « Mouvement Y – fct (Temps) » puis cliquer sur calcul Une nouvelle représentation graphique apparaît : celle de la vitesse en fonction du temps • Comment varie la vitesse avec la distance parcourue ? • Une fonction affine est-elle susceptible de modéliser la courbe obtenue ? • Modéliser la dérivée du mouvement de y . Relever la nouvelle valeur de a obtenue a = ……… 3

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN 1- DOMAINE DE DÉFINITION. 2- DÉRIVÉE ET TABLEAU DE VARIATION. a) Dérivée : b) Tableau de variation : |x | | |f (x) | | 3- REPRÉSENTATION GRAPHIQUE. 4- PROPRIÉTÉS. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN Exercice 1: A l'aide de la calculatrice (touche ln), compléter le tableau ci-dessous:

suite des itérés S vers l. D’après l’égalité des accroissements finis, on peut dire que pour tout x de I il existe un élément c compris entre x et l pour lequel f(x)- f(l)=(x-l)f ’(c). De l’hypothèse sur la majoration de la valeur absolue de la dérivée sur I on tire alors :  x I : Appliqué à x=xn avec n quelconque, cela donne : On en déduit facilement par récurrence, que pour tout n entier : Or puisque q ]0, 1[ , la suite de terme général qn converge vers 0. On peut donc conclure

fonction Soit à déterminer l'équation de la tangente au graphe de f2 (x) = 3x  5 au point d'abscisse 2. 1  2x 65 1   nous avons la coordonnée complète d'un point de cette droite. 1 4 3 7 Dans l'étude de la fonction, nous avons déterminé la dérivée f ' (x) = (1  2 x) 2 7 7  La pente de la tangente sera donc : f ' (2) = 2 9 (1  4) 1 7 L'équation de la tangente se détermine alors facilement : y +   (x - 2)  9y + 7x - 11 = 0 3 9 (On peut aisément le vérifier graphiquement.) Exercice : 5

déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée là où elle existe : 2 x | b) f : x −→ (arccos(x2 )) c) f : x −→ arcsin (1 − x2 ) a) f : x −→ ln | x−1 Exercice 4 Etudier la dérivabilité de la fonction f: R → x −→ R 1 + x si x ∈ Q 3 − x si x ∈ /Q Exercice 5 Pour chacune des fonctions suivantes, la fonction est-elle de classe C 1 sur l’intervalle où elle est définie, déterminer la dérivée là où elle existe : a) f : x −→ 1 x − cos(x) sin(x) si x ∈ 0, π2 si x

consommateur, le bien X peut être classé dans la catégorie des « biens de luxe ». - Entre les points B, C, D et E de la courbe de demande, 0 < er 0, pour -1,33 < L < 8. Et PmL < 0, pour L < -1,33 et L > 8. © www.e-tahero.net – Z.M.F * Etude de la dérivée seconde de PT : - PT’’ = PmL’ = (-3L2 + 20L + 32)’ = -6L +20. - PmL’ = ⇒ L = 20 6 = 3,33. - PmL’ > 0 ⇒ -6L + 20 > 0 ⇒ L < 3,33. - PmL’ < 0 ⇒ -6L + 20 < 0 ⇒ L > 3,33. Portail des Etudiants d’Economie - 14 - Professeur R. CHAABITA Micro-Économie

| |Le sens de variation d’une fonction est donné par le signe de la dérivée, donc les trois étapes a suivre sont : | |Calculer la dérivée à l’aide des formules du cours ; | |Etudier le signe de la dérivée ; | |Conclure

a, Cf admet une tangente en a. f’(a) est le coefficient directeur de la tangente L’equation de la tangente est y=f’(a)(x-a)+f(a) Rque : si f’(a)=0, la tangente est horizontale o FONCTIONS DERIVEES Une fonction est derivable sur I ssi elle admet un nombre derivé à tout x de I. La fonction derivée est notée f’. o FORMULES f(x) | k (cste) | x | x² | x3 | xn | 1x | 1xn | x | f’(x) | 0 | 1 | 2x | 3x² | nxn-1 | -1x² | -nxn+1 | 12x | domaine de derivabilitéde f | ℝ | ℝ | ℝ | ℝ | ℝ | ]-∞;0[