Dernier théorème de Fermat

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par 5n+1 . 2. b. Démontrer alors que 2 0098 001 ≡ 2 009 (625). a. Vérifier que u3 = 2 009250 − 1 puis en déduire que 2 009250 ≡ 1 (625). Partie C 1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 2 0098 001 − 2 009 est divisible par 10 000. 2. Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2 009. Frédéric

Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1 Division euclidienne et pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

n→∞ 1+ 1 n n = e. En particulier, on voit que la limite n’est pas 1, comme on aurait pu le croire en sup1 posant que le fait que 1 + n tende vers 1 entraîne que sa puissance n-ième tende aussi vers 1. D’une manière générale, aucun théorème classique ne s’applique quand les puissances ou le nombre de facteurs d’un produit est variable. Nous allons simplifier le produit en considérant son logarithme. n 1+ ln k=1 20 k n2 n = ln 1 + k=1 k n2 9782100547678-Fresl-C1

également). III-2 ABERRATIONS GEOMETRIQUES Avec des rayons loin de l'axe et des inclinaisons sur l'axe importantes, les conditions de Gauss ne sont plus remplies. Soit A ' l'image de Gauss d'un point A sur l'axe. On démontre en optique de Fermat que le chemin optique [AHA '] est indépendant du rayon incident pourvu qu'il soit paraxial. Dans la réalité les rayons non paraxiaux ne convergent pas en A '. Le rayon >> de la figure 3 coupe ainsi l'axe optique en A '2  A '. Le professeur

DANS L’ŒUVRE DE ALBERT EINSTEIN Associé étranger de l’Académie PAR M. LOUIS DE BROGLIE Secrétaire perpétuel LECTURE FAITE EN LA SÉANCE ANNUELLE DES PRIX DU 5 DÉCEMBRE 1955 M ESSIEURS , La mort d'Albert Einstein survenue au printemps dernier, le 18 avril 1955, a causé dans les milieux scientifiques de tous les pays une très vive émotion. Le caractère génial de son oeuvre, la noble figure de ce savant illustre à qui rien de ce qui est humain ne restait étranger forçaient l'estime et l'admiration

sur le modèle des siècles de Périclès et d'Auguste, ou encore du « Grand Siècle ». Le roi met aussi en place un État centralisé et absolutiste. Il le dirige après 1682 depuis le vaste château de Versailles, dont il a ordonné la construction. Ce dernier, modèle architectural de nombreux palais européens, est le cadre d'une étiquette très élaborée à laquelle il soumet la noblesse de cour, qu'il tient étroitement en main auprès de lui. Louis XIV réduit aussi le rôle des Parlements, réprime les révoltes

= c si f (c) est la plus petite des valeurs de la fonction sur la totalité du domaine de f, tandis que f admet un minimum relatif en x = c si f (c) est la plus petite des valeurs de la fonction pour tout x dans un voisinage de c. 2. 3. a) Le théorème des valeurs extrêmes. b) Voir la méthode de l’intervalle fermé. Un maximum absolu en s, un minimum absolu en r, un maximum relatif en c, des minima relatifs en b et en r, pas de maximum ni de minimum en a et en d. 4. Un maximum absolu en r,

devaient se livrer une bataille décisive. Quand ils virent brusquement le jour se transformer en nuit, comme l’avait prédit Thalès, ils connurent une telle panique qu’ils préférèrent cesser les combats et signer un accord de paix.), ainsi qu'à un théorème de la théorie du triangle auquel il donna son nom et qu’il appliqua à la mesure de la hauteur des Pyramides et à la mesure des distances en mer. Il est aussi connu pour ses travaux sur l'électricité statique. Il avait en effet constaté qu’un morceau

divisibilité de l’entier 4n −1, lorsque n est un entier naturel. On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors a p−1 − 1 ≡ 0 mod p ». Partie A. Quelques exemples 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3. 2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428 − 1 est divisible par 29. 3. Pour 1 n 4 , déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire

4ème - Théorème de Pythagore 129 22.1 Vocabulaire et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 22.2 Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle131 22.3 Utiliser le théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle . . . . . . 132 22.4 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle est rectangle . 133 23 4ème - Triangles : théorème des