Développement asymptotique

Équivalent d’une exponentielle. Rappel : on ne passe jamais un équivalent à l’exponentielle. « Jamais ? – Jamais ! » La bonne façon de faire est d’isoler, dans l’argument de l’exponentielle, les termes qui tendent vers 0 (après un éventuel développement limité) et d’utiliser la relation fondamentale de l’exponentielle : ea+b = ea eb . x→0+ et ∼ x→+∞ on a x→+∞ C OROLL AIRE 1 et ∼ x→+∞ x→a On n’omettra pas de préciser (éventuellement oralement) que lim ex = lim

précédemment établi qu’il existe  tel que xlima f ( x ) =  et x → a g ( x ) =  . → Dans les cas où x tend vers + ∞ ou − ∞, mettre en facteur les termes « les plus puissants » est toujours pertinent. Exercice 1 Déterminer le comportement asymptotique de la fonction f en a dans les cas suivants : a) f (x) = 4 x 3 si n 2 x − x + 5 pour tout x et a = + ∞ ; b) f (x) = x 2 −1+ x pour x ≥ 0 et a = + ∞ ; 2 x 2 − x +1 c) f (x) = x 2 + 2 x + 5 + x pour tout x et a = − ∞ ; d) f (x) =

Limite et ordre - Asymptotes Cours CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit + ∞, soit − ∞ , soit a un réel fini (a ∈ R) → → Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j ) , et on note C f la courbe représentative de la fonction f dans ce repère 1. LIMITE et ORDRE 1.1. Théorème de comparaison f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle I  Si ∀x ∈ I  lim g ( x) = +∞  x →α f ( x) ≥ g ( x) alors lim f ( x) = +∞ x →α Exemple Déterminer la limite

Corrigé du test (1/2 h) Ch 9 : Limites Comportement asymptotique des fonctions Exercice 1 (1,5 point) Le graphique suivant montre la courbe d’une fonction f définie sur ] [pic] ; – 4 [ [pic]] – 4 ;1 [[pic]]1 ;+[pic][ qui admet deux asymptotes verticales d’équations x = – 4 et x = 1 . Par lecture graphique donner les limites de f(x) aux bornes de son ensemble de définition. [pic] Exercice 2 (2 points) Déterminer les limites des fonctions

(x) 0 sur ]- ; -1/2 ] , donc f est croissante sur ]- ; -1/2 ] f ' (x) 0 sur [-1/2 ;+ [ , donc f est décroissante sur [-1/2 ;+ [ Tableau de variation : ( non demandé ) 3. a) qui est le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction x e-x. b) est bien le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction f . – Partie C Calcul intégral 1. Pour tout réel x on a : f (x) = - f '(x) + 2 e-x la fonction F définie par F(x) = - f (x) - 2 e-x

Motivation • Un algorithme est une procédure finie et mécanique de résolution d’un problème. Exemples : les algorithmes d’Euclide, l’algorithme de Dijkstra ... 9. Complexité des algorithmes • Un algorithme doit se terminer sur toutes les données possibles du problème et doit fournir une solution correcte dans chaque cas. • Pour résoudre informatiquement un problème donné, on implante donc un algorithme sur un ordinateur. Mais, pour un problème donné, il existe bien souvent plusieurs algorithmes

a, b et c trois réels tels que g(x) = ax + b + c x−2 g(x) a) Calculer de deux manières différentes lim et en déduire a. x →+∞ x b) Calculer lim (x − 2)g(x) et déterminer c x →2 c) Calculer g(0) et déterminer b d) Etudier le comportement asymptotique de la courbe représentative ζ de g 4) Dresser le tableau de variation de g 5) Montrer que I (2, 4) est un centre de symétrie de ζ r r 6) Tracer ζ dans un repère orthonormé (O, i , j ) . Exercice 2 On considère la fonction f : x a x 2 − 2x + 2

Dans tout l’exercice, I désigne un intervalle, et a un point de I. I Généralités A) Définitions Soit , . On dit que f admet un développement limité (DL) à l’ordre n en a lorsqu’il existe des réels et une fonction qui tend vers 0 en a tels que : Autrement dit : Lorsqu’il existe tels que, au voisinage de a : Ou encore lorsqu’il existe tels que : au voisinage de 0. Ainsi, la notion de DL à l’ordre n en a pour revient à la notion de DL à l’ordre n en 0 pour . Exemples

Etude d’une fonction 1. 1.a 1.b Soit f l’application de ℝ ∗ dans ℝ définie par : ∀t ≠ 0, f (t ) = Justifier que f est continue et paire. Former le développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t

g(n)) = O(max(f (n); g(n))). Exercice 5 – Comportement asymptotique des polynômes Soit p(n) = d X a i ni i=0 où ad > 0, un polynôme en n de degré d, et soit k une constante. Utiliser les définitions des notations asymptotiques pour démontrer les propriétés suivantes : 1. Si k d, alors p(n) = O(nk ). 2. Si k  d, alors p(n) = ⌦(nk ). 3 3. Si k = d, alors p(n) = ⇥(nk ). Exercice 6 – Croissances asymptotiques relatives Indiquer, pour chaque paire d’expression (A, B)