Diagonale principale

matrice est dite matrice carrée. On note M n (K) au lieu de M n,n (K). 0 a 1, 1 B B a 2, 1 B . B . @ . a n,1 a 1,2 a 2,2 .. . a n,2 ... ... .. . ... 1 a 1,n C a 2,n C .. C C . A a n,n Les éléments a 1,1 , a 2,2 , . . . , a n,n forment la diagonale principale de la matrice. – Une matrice qui n’a qu’une seule ligne (n = 1) est appelée matrice ligne ou vecteur ligne. On la note ≥ ¥ A = a 1,1 a 1,2 . . . a 1,p . – De même, une matrice qui n’a qu’une seule colonne (p = 1) est appelée matrice colonne

sous la diagonale principale aij = 0 si i  j Matrice triangulaire inférieure zéro au dessus de la diagonale principale aij = 0 si i  j Matrice diagonale : Tous des zéro sauf la diagonale principale, donc aussi triangulaire sup et inf. Matrice scalaire : matrice diagonale où tous les nombres sont identiques Matrice Identité : Tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 (donc aussi scalaire) aij = 0 si i  j ET est = 1 si i = j Matrice symétrique : chaque côté de la diagonale principale

forme . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Les diff´rences d’orientation . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Matrices particuli`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Transpos´e d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.2 Matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Matrice identit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.5 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Op´rations ´l´mentaires

matrice carrée est une matrice de form n: Exempl e: 6 Définitio n: La diagonale principale d’une matrice carrée est l’ensemble des éléments de la forme 7 Définitio Une matrice triangulaire supérieure n: (inférieure) est une matrice carrée dont tous les éléments sous (au dessus) la diagonale principale sont nuls. 8 Définitio Une matrice identité est une matrice carrée n: dont les éléments de la diagonale principale sont tous 1 et les autres sont tous nuls. 9 Définitio Une matrice symétrique

Les matrices diagonales : Une matrice carrée d’ordre n est dite diagonale si tous ses termes sont nuls sauf ceux qui se trouvent sur la diagonale principale. Propriétés des matrices diagonales : 1) La somme de 2 matrices diagonales A et B est une matrice diagonale : ses termes diagonaux sont obtenus en faisant la somme des termes diagonaux homologues des matrices A et B. 2) Le produit d’une matrice diagonale A par un nombre est une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont le produit

Lorsque n=p , on dit que M est une matrice carrée d'ordre n (il y a exactement le même nombre de lignes et de colonnes). - La matrice identité d'ordre n est la matrice carrée d'ordre n dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1. On la note Définition : Dire que deux matrices sont égales signifie qu'elles ont le même format et Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 1/2 que les nombres qui occupent la même position

cette forme : C= La diagonale d’une matrice est composée des termes Exemple : La diagonale est (2 ;-1 ; 4) Matrice triangulaire supérieure, inférieure Définition : Une matrice est dite triangulaire supérieure (respectivement inférieure) si et seulement si tous les coefficients sous (respectivement) sur la diagonale sont nuls. Matrice triangulaire supérieure Matrice triangulaire inférieure Matrice diagonale Une matrice est dite diagonale, si et seulement si, tous les

< j et considérons la matrice Aij = Ap (ε1 , . . . , εn ) dont tous les coefficients εk sont égaux à 1 sauf εi = −1. Alors Ap (1, . . . , 1) − Aij = 2Eij , donc les matrices Eij sont dans V (An ) pour 1 ≤ i = j ≤ n. Considérons aussi la matrice diagonale Bi = An (ε1 , . . . , εn ) dont tous les coefficients εk sont égaux à 1 sauf εi = −1. On obtient dans ce cas In − Bi = 2Eii , DP 3 donc les matrices Eii sont dans V (An ) pour 1 ≤ i ≤ n. Finalement V (An ) contient toutes les matrices de la

⋮ a a a ⋮ a ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a a ⋮   a 1. Matrices particulières   Matrice nulle :  tous ses éléments a 0  Matrice carrée d’ordre n :  nombre de lignes = nombre de colonnes =      Page 1 sur 7 Matrice diagonale :  a 0 ⋮ 0 Matrice identité d’ordre   :   Matrice triangulaire supérieure :  a 0 ⋮ 0 a a a ⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ a 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 I Matrice triangulaire inférieure :   0 a ⋮ 0 a

des coefficients diagonaux. Matrices particulières : • Matrice nulle : la matrice nulle à n lignes et p colonnes est la matrice de n,p ( ) dont tous les coefficients sont nuls, celle-ci est notée On,p . Lorsque p = n, la matrice On,n est notée simplement On , c’est la matrice nulle de n ( ). • Matrice unité : la matrice unité de n ( ) est la matrice carrée de taille n, notée I n et définie par I n = (δi, j )1 i, j n , c’est à dire, I n est la matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1