Diagonalisation

qui s'oppose au modèle d'apparition, disparition et réapparition cycliques d'un phénomène, les quantités de vestiges ou le critère étudié augmente progressivement jusqu'à atteindre une apogée, puis décroît avant de disparaître. Les méthodes de diagonalisation des tableaux de données, par le calcul de barycentres ou les méthodes de permutation matricielles de Jacques Bertin, sont intégrées également à certains logiciels. Au-delà de ces méthodes simples, l'analyse des données, apparue dans les années

contre, les matrices « inductance » et « inductance mutuelle » sont plus complexes. Le but d’un changement de base est de rendre leur écriture plus simple dans la nouvelle base. Cela consiste en pratique à les rendre diagonales. 31 B3.1. DIAGONALISATION D’UNE MATRICE INDUCTANCE Considérons une matrice inductance statorique ou rotorique en omettant l’indice.  l m m [L] = m l m   m m l    Cette matrice est symétrique par rapport à sa première diagonale. Elle est alors diagonalisable

basses dimensions d’un espace vectoriel) Applications linéaires : définitions, exemples. Opérations sur les applications linéaires Rang et noyau d’une application linéaire. Représentation matricielle - 38 Chapitre 4 : Diagonalisation Notion de diagonalisation, valeurs propres, vecteurs propres ; propriétés et exemples Polynôme caractéristique, sous espaces propres et caractérisation des matrices diagonalisables Application : calcul de la puissance n-éme d’une matrice carrée Chapitre

l’hypothèse de l’erreur de calcul est souvent avancée. Une erreur diagnostiquée est à demi pardonnée … Les méthodes de détermination des contraintes et directions principales sont connues : par les cercles de Mohr pour 10% des candidats, par diagonalisation pour les autres. Par contre, l’exploitation de ces résultats pour discuter de la propagation de fissure laisse à désirer. Cette dernière question a été rarement abordée, et certains résultats justes restent inexpliqués (forme de la fissure

∀(x, y) ∈ E 1. u ∈ O(E) 2. u ◦ u∗ = IdE 3. u∗ ◦ u = IdE 4. u ∈ Gl(E) et u−1 = u∗ < u(x), y >=< x, u(y) > 2 < u(x), y >= − < x, u(y) > Théorème : Soient E un espace euclidien et u ∈ L(E). Les propriétés suivantes sont équivalentes : Diagonalisation des endomorphismes symétriques Soient E un espace euclidien de dimension n et u un endomorphisme symétrique de E. Alors u est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. De façon équivalente, E admet une base orthonormale

L’isoparamétrie permet de transformer un élément réel, par une bijection, en un élément exploitable pour calculer sa matrice de raideur. Il faut que l’élément réel ne soit pas trop distordu. Lanczos et ses avantages (Livre blanc p193, p197) Tri diagonalisation par transformations successives, utilisation pour un système de grande taille et ayant un grand nombre de valeurs propres. Capacité à séparer les valeurs propres proches ou confondues. Méthode de résolution pour extraire des valeurs propres

l’aimant permanent Ls : l’inductance des phases statoriques Lc = (Ls − M ) : l’inductance cyclique 2.3 ´ Equations ´ electriques dans le rep` ere de Park (dq) La transformation de Park est ancienne et date de (1929) et d´ecoule de la diagonalisation des matrices inductances (statoriques et rotoriques). Afin de simplifier le mod`ele dynamique de la machine, on applique un changement de rep`ere. Ce passage math´ematique, transforme les trois bobines statoriques fixes d´ephas´ees de 2π/3

sep associé à d : M×[xy ]=d.[xy] ⇔qy=−qx donc [ 1−1] est vecteur propre de M pour d Matrice de passage : P=[q 1 p −1] Inverse de P : [1−p q p 1−q ].[xy]=[XY ] ssi {x= 1 p+q .(X+Y) Y=1 p+q .(pX−qY) donc P−1= 1 p+q .[1 1 p −q ] Diagonalisation de M : P−1MP=D , avec D=[1 0 0 d ] Puissances de M : M=PDP−1 , donc M n=P .Dn . P−1 On en déduit que M n= 1 p+q .[ q 1 p −1].[1 0 0 d n].[1 1 p −q ]= 1 p+q .[ q+pd n q−qd n p−pd n p+qd n] 4. On en déduit que {a n= 1 p+q .((q+pd n)a0+(q−qdn)b0)

endomorphisme de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Polynˆme caract´ristique d’un endomorphisme de E . . o e 5.2.3 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres . 5.2.4 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Condition n´cessaire et suffisante de diagonalisation . . e 5.2.6 R´duction ` la forme triangulaire . . . . . . . . . . . . e a 5.3 Application a la r´solution des syst`mes des suites vectorielles ` e e 159 . 159 . 160 . 161 . 161

Analyse de la qualité de l'énergie potentielle Bifurcation de l'équilibre Exemple 1 : le flambement Exemple 2 : le snapping 167 167 168 169 170 173 174 175 177 Chapitre 16 MODES NORMAUX 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 Généralités Lemme de diagonalisation simultanée Le tenseur de transformation Expression générale de l'énergie cinétique Linéarisation et découplage des équations d'équilibre Modes normaux Description qualitative des modes normaux 179 179 180 180 182 183 184 Chapitre 17 L'OSCILLATEUR