Dimension topologique

Une ligne qui remplit un carr´ . . . . . . . . e 1.2.4 Koch en renfort de Weierstrass . . . . . . . 1.2.5 Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Au sujet de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 La dimension topologique . . . . . . . . . . 1.3.2 La dimension de Hausdorff-Besicovitch . . . 1.3.3 La dimension des boˆ (box-counting) . . . ıtes 1.4 Deux probl`mes physiques . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . 1.4.2 La longueur des cˆtes

fractale avant de les appliquées sur des exemples de fractales dans la nature et dans le corps humain . I/ Les propriétés des fractales Un objet fractal : - a une dimension strictement supérieure à sa dimension topologique (de base) - a une dimension non entière - fait apparaître la notion de l'infini (ex: longueur se répète à l’infini) - possède une autosimilarité ; c'est-à-dire qu'il est possible de retrouver des motifs de la fractale dans son ensemble

fractale, par Mandelbrot. La dimension fractale Le concept de dimension est très ancien, car c’est Euclide lui-même qui l’a établit depuis 300 ans avant J.-C. Pour lui, un point possède une dimension 1, une figure plane, 2, et on parle de 3 dimensions dans le cas d’un solide comme un cube par exemple. D’ailleurs, on remarque qu’il y a un lien entre la dimension d’un objet et son unité de mesure. Un objet de dimension 2 se mesure en m² et un objet de dimension 3, en m3. A l’origine, elle correspond

du théorème 2, et des propriètès des suites réelles convergentes . Un autre corollaire de ce théorème affirme que si f est continue en a et si g est continue en b  f a , alors la fonction composée g  f est continue en a. 4 k) Propriètès topologiques des fonctions continues : Théorème 3: Soit f une fonction définie et continue sur une partie A de  n et à valeurs dans  p . Alors l’image par f de tout compact K de A est compact dans  p . Corollaire Toutes les normes sur  n sont deux à deux

2) Les dimensions euclidiennes ou topologiques. La géométrie Euclidienne se traduit dans un espace euclidien qui par définition est un espace à une dimension finie, qui a des limites, muni d’un produit scalaire (opération algébrique s’appliquant au vecteur). La géométrie possède donc une dimension très vaste mais finie. Elle ne va donc pas plus loin (comme le dit sa définition) que la mesure d’angles et le calcul de distances. La dimension topologique présente trois dimensions entières :

est d´montr´ dans le cas m´trisable. e e e e e De mˆme, on ne parle pas du th´or`me de Hahn-Banach qui s’int´gre plus e e e e naturellement dans un cours d’Analyse Fonctionnelle, mais il y a un ou deux exercices sur la s´paration des convexes en dimension finie. e Nous avons inclus dans ce texte une liste d’exercices. Ceux-ci de difficult´ vari´e e e r´pondent ` une double n´cessit´. Il est important de jongler avec les diff´rents e a e e e concepts introduits en cours et mˆme de faire certaines erreurs

supérieure à 100 m² (Yun, 1999), (Mayer, 1999), ce qui permet une détection plus complète. Les bâtiments à identifier dans les images sont donc cinq fois plus petits en terme de surface que ceux habituellement cartographiés par télédétection. La faible dimension spatiale des bâtiments ruraux des PED est l’un des critères limitant pour l’utilisation de données de télédétection. [pic] [pic] Figure3 : Distribution des bâtiments des habitations enquêtées suivant leur forme (gauche) et leur surface au sol (droite)

l’espace dans La Jalousie d’Alain Robbe-Grillet 21 dimensions »1, Le Petit Robert entre dans d’autres détails: « I. Lieu, plus ou moins bien déterminé, où peut se situer quelque chose. II. Philo. Milieu idéal, caractérisé par l’extériorité de ses parties, dans lequel sont localisées nos perceptions, et qui contient par conséquent toutes les étendues finies… III. Géom. Milieu conçu par abstraction de l’espace perceptif (à trois dimensions). »2 Le Sémiotique : Dictionnaire raisonné de la théorie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 A la rescousse des équations différentielles 7.4.2 L’équation de la chaleur à une dimension . A Mesure de Hausdorff A.1 Compléments sur les mesures extérieures . . . . . . A.2 Définition de la mesure de Hausdorff . . . . . . . . A.3 Propriétés et dimension de Hausdorff . . . . . . . . A.4 Exemples de mesures et de dimension de Hausdorff iv ⋆ AVANT- PROPOS Ce polycopié est le support du cours de Théorie de la mesure et de l’intégration enseigné

β|g|q p.p. [afficher] Deux démonstrations Exemples[modifier | modifier le code] Inégalité de Cauchy-Schwarz Le cas p = q = 2 de l'inégalité de Hölder est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert. Dimension finie Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝn (ou de ℂn), l'inégalité Cette inégalité peut