Discriminant

Définition  L'analyse discriminante se présente selon deux perspectives complémentaires. La première est descriptive: il s'agit d'une technique statistique qui vise à identifier des variables (X1, X2, X3…) permettant de différencier les individus qui appartiennent à l’un ou l’autre de deux groupes (ou plus). La deuxième perspective est prédictive: après avoir identifié un certain nombre de variables dont la puissance discriminative est satisfaisante, il est possible d'utiliser une ou plusieurs

racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c, revient à résoudre dans R l’équation ax2 + bx + c = 0. 2 Factorisation, racines et signe du trinôme : DÉFINITION On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c (a = 0), le réel ∆ = b2 − 4ac. 2-1 Si ∆ < 0 : Racines : Pas de racines réelles. Factorisation : Pas de factorisation dans R. Signe : ax2 + bx + c est toujours du signe de a. x ax²+bx+c y a>0 −∝ Signe de a

convient d’abord de calculer son discriminant . Ce discriminant vérifie l’égalité suivante : Ensuite, selon la valeur de , on peut directement savoir combien de solutions réelles comporte notre équation du second degré :  si , alors il n’y a pas de solution  si , alors il y a une seule solution qui est  si , alors il y a deux solutions qui sont : Prenons quelques exemples pour mieux comprendre :  On a : D’où : Le discriminant est positif donc il y a deux

détermine-t-on le nombre de solutions d'une équation du second degré ? • Pour résoudre une équation du second degré, on transpose tous les termes dans un seul membre pour obtenir une écriture de la forme : ax^2 + bx + c = 0. On calcule alors le discriminant Δ (delta) : \Delta = b^2 - 4ac. Trois cas peuvent se produire : si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution ; si Δ = 0, l'équation a une solution ; si Δ > 0, l'équation a deux solutions. Exercice n°1 2. Comment calcule-t-on les

équation du type. Résoudre une équation du second degré c’est donc trouver tous les réels qui vérifient Les solutions de l’équation sont appelées racines du trinôme Définition : Soit une fonction polynôme de degré 2. avec Le discriminant de est le réel Le discriminant va nous permettre de dénombrer les solutions de l’aquation Proposition : 1° Cas : L’équation admet deux solutions notées . et Forme factorisée : Allure graphique : La parabole associée coupe l’axe des abscisses en deux endroits

cx. 2. Forme canonique de ax² + bx + c, a ( 0 Propriété : Forme canonique On a : ax ² + bx + c =[pic]. Démonstration : ax ² + bx + c =[pic]=[pic]=[pic]. D’où ax ² + bx + c = [pic]. Définitions - Le réel b ² - 4ac, noté (, est le discriminant de ax ² + bx + c . - [pic] s’appelle forme canonique du trinôme ax ² + bx + c. 3. Equation du second degré et factorisation Rappels : Avec les méthodes du collège, on sait résoudre x ² + 5x = 0 ; x ² ( 9 = 0 ; x ² + 4x + 4 = 0 mais on

est un polynôme T de degré 2. Il existe donc trois réels a (≠0), b et c tels que, pour tout réel x : T(x)=ax2+bx+c Le polynôme défini pour tout réel x par P(x)=2x2+x−3 est un trinôme du second degré. On appelle discriminant du trinôme T le réel : Δ=b2−4ac On calcule le discriminant du trinôme défini pour tout réel x par P(x)=2x2+1x−3 : Δ=12−4×2×(−3) Δ=1−(−24)=1+24=25 La forme canonique de T (c'est-à-dire l'écriture de T où la variable x n'apparaît qu'une seule fois, à la puissance 1) est

Px=ax2+bx1+ca Px=ax2+2bx2a+ca Px=ax2+2bx2a+b24a2-b24a2+ca Px=ax+b2a-b24a+ca) Px=ax+b2a2+-b2+4ac4a Où α=-b2a et β=-b2+4ac4a Le nombre b2+4ac s’appelle le discriminant du polynôme et se note ∆. De fait, α=-b2a ; β=-∆4a2 et ∆=b2-4ac. III. Racines et factorisation d’un polynôme du second degré Théorème 4 : Soit Px=ax2+bx+c et ∆ sont discriminant, a) Si ∆&lt;0, alors Px n’admet pas de racines réels b) Si ∆=0, alors Px admet une seule racine en xS=-b2a et P(x) se factorise en Px=a(x-xS)2

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions : −( −1) − 25 1 − 5 x′ = = =

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions :