Distribution de Dirac

......................................................................................3 II.2.SIGNAUX ELEMENTAIRES – DISTRIBUTIONS:....................................................................................4 Propriétés mathématiques fondamentales de la distribution de Dirac : ..........................................4 Propriété mathématique fondamentale du peigne de Dirac:............................................................5 Représentation des signaux périodiques: ..............

Université de Savoie DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique ANNEXE 1 NOTIONS SUR LA DISTRIBUTION DE DIRAC 1 Introduction. Les mathématiques « classiques » analysent les relations entre des fonctions continues et dérivables et se révèlent un outil commode pour traiter les systèmes régis par des équations différentielles, à condition que l’excitation soit une fonction continue et dérivable. Exemple: réponse d’un circuit RLC à une excitation e(t) sinusoïdale. Dans certains cas

PROPRIETES DES DISTRIBUTIONS Notations Original f(t) ou T(t) t ∈R Distributions: Définitions Des Fonctions +∞ TRANSFORMEE DE LAPLACE DISTRIBUTIONS Toutes les relations s'entendent ∀ϕ Transformée Espaces de fonctions (sur à valeur dans ) = C∞: fonctions indéfiniment dérivables : fonctions C∞ à décroissance rapide r c La notation T(x) est incorrecte mais très pratique !!!! Egalité T1 = T2 si = T=0 si = 0 Lf(p) ou LT(p) p = x+iy ∈ c e-pt f(t) dt 0 E S D: fonctions

3 8.4 8.5 A.1 A.2 A.3 Introduction Synthèse des filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie Synthèse des filtres numériques à réponse impulsionnelle finie Réalisation des filtres numériques Techniques avancées de filtrage numérique Impulsion de Dirac Fonctions mathématiques utilisées en traitement du signal Transformée de Laplace 179 179 187 202 205 210 213 213 216 224 227 229 231 ANNEXES BIBLIOGRAPHIE LEXIQUE ANGLAIS-FRANÇAIS INDEX Avant-propos Le contenu et l’organisation de

numériques à réponse impulsionnelle infinie 187 8.3 Synthèse des filtres numériques à réponse impulsionnelle finie 202 8.4 Réalisation des filtres numériques 205 8.5 Techniques avancées de filtrage numérique 210 ANNEXES 213 A.1 Impulsion de Dirac 213 A.2 Fonctions mathématiques utilisées en traitement du signal 216 A.3 Transformée de Laplace 224 BIBLIOGRAPHIE 227 LEXIQUE ANGLAIS-FRANÇAIS 229 INDEX 231 Avant-propos Le contenu et l’organisation de ce livre ont été développés

transformée en fonction causale, c’est à dire nulle pour t < 0, en la multipliant par u(t): f(t) = g(t) . u(t) Cette notation sera utilisée systématiquement par la suite. ¶∞ e −pt ∞ e −p$∞ e −p$0 Fonction impulsion unité ou distribution de Dirac : δ(t). 1/ε soit la famille de fonctions définie par: f(t) = 1 / ε pour 0 < t < ε. f(t) = 0 pour t < 0 et t > ε. 0 ε t +∞  que : 0 f(t) $ dt = 0 f(t) $ dt +∞ −p$t  $ f(t) $ dt = 0 e −p$t $ 1  0 e e −p$ 1−e −p$ 1 1  $ −p −

1 ⇒ F (p) = F1p) (1.13) 1 − e −pT A retenir: La transformée d’une fonction périodique de période T est égale à la transformée de la première onde divisée par 1 − e −pT . IV. Transformées de Laplace des signaux canoniques IV.1. Impulsion de Dirac : f (t ) = δ(t ) ⇒ F (p) = 1 1 Lδ(t ) = p.Lu(t ) = p. = 1 p 5 Chapitre1: La transformée de Laplace ε → 0 : étant un intervalle de temps très petit. IV.2. Fonction échelon de position unité f (t ) = 1.u(t ) ⇒ F (p) = 1 p IV.3. Fonction

 f ( τ).g( t − τ).dτ = F( p).G( p)  0  ∫ 1 I.2.4. Transformée de Laplace de signaux particuliers. 1 • échelon u(t) : L[u( t )] = p • fonction rampe : r ( t ) = a.t.u ( t ) L[r ( t )] = a p2 +∞ • Impulsion de Dirac δ(t) (nulle partout sauf en 0 et telle que ∫ δ( t) = 1 ) : L[δ(t)] =1 −∞ I.2.5. Théorème de la valeur finale : lim (f ( t )) = lim ( p.F( p)) t →∞ p→0 Ce théorème est très utile pour déterminer le comportement d’un système en

= – E.exp(– t/τ) Après la transition, la tension de sortie croît de – E à 0 avec une constante de temps τ = R.C. Pour que le signal de sortie US soit la dérivée du signal d’entrée, il faudrait que ce soit une impulsion de largeur nulle (pic de Dirac). On s’approche de cette condition en choisissant R et C pour que le produit R.C soit très inférieur à la période du signal rectangulaire d’entrée. Le montage donne des impulsions positives sur les fronts montants du signal d’entrée et négatives

fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui rendent la transformation de Laplace intéressante et populaire auprès des ingénieurs. Cette transformation a donné lieu à la technique du calcul opérationnel ou calcul