Distributivité

b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : Par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² 2. Carré d'une différence Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)² = a² - 2ab + b² Démontrons ce résultat : Par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a - b)² = (a - b)(a - b) = a × a - a × b - b × a + b × b = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²

-4. II. Développer et factoriser 1) Distributivité Définitions : Développer c’est transformer un produit en une somme (ou différence) de termes. Factoriser c’est transformer une somme en un produit de facteurs. DEVELOPPER Exemple : x(4 – y) = 4x – xy FACTORISER On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition (ou la soustraction). Dans l’exemple, on a distribué la multiplication par x sur les termes 4 et y. 2) Double-distributivité DEVELOPPER Propriété : FACTORISER

ou de signes contraires ← Je sais effectuer avec méthode la somme et la différence de plusieurs nombres ← Je sais calculer une valeur numérique Chapitre 6 : Calcul littéral Savoir ← Je connais la règle de la distributivité simple (p.67) ← Je connais la règle de la distributivité double (p.67) Savoir-faire ← Je sais transformer une expression littéral (en français) en une expression algébrique (en langage mathématique) ← Je sais transformer une expression algébrique (en langage mathématique)

cherche b) Et alors Et si , l’inverse de est d’où l’inverse de est si et l’inverse de L’ensemble ainsi construit a bien les mêmes propriétés que pour l’addition et la multiplication, celles d’un corps commutatifs (on a aussi la distributivité de la multiplication sur l’addition). Alors on peut utiliser les mêmes méthodes calculatoires : les identités remarquables et on peut résoudre les équations. Exemple : -Calculer en fonction de -Calculer et mettre sous forme

fonction. C’est un outil important en TDS (filtrage...) Commutativité changement variable τ = t − u ⇒ z(t) = +∞ −∞ x(t − u).y (u)du x(t) ⊗ y (t) = y (t) ⊗ x(t) Signal continu z(t) = x(t) ⊗ y (t) = +∞ −∞ x(τ ).y (t − τ )dτ Signal discret Distributivité [x1 (t) + x2 (t)] ⊗ y (t) = x1 (t) ⊗ y (t) + x2 (t) ⊗ y (t) Associativité n=+∞ z[k ] = x[k ] ⊗ y [k ] = Guillaume HIET n=−∞ x[n].y [k − n] Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 3/10 [x1 (t) ⊗ y1 (t)] ⊗ y2 (t) = x1 (t) ⊗

multiplication est distributive par rapport à l’addition et la soustraction. Ex : 5 x (2 + 4) = 5 x 2 + 5 x 4 = 30 3 x (a – 7) = 3a – 21 1 http://www.maths-videos.com a) développer une expression : 9 x (5 + 3) = (9 x 5) + (9 x 3) La distributivité par rapport à l’addition et la soustraction permet de transformer ces produits en sommes ou en différences. J’ai développé chaque expression. somme produit b x (7 – 2) = (b x 7) – (b x 2) différence produit factoriser une expression

soustractionExemple:2 x ( 10 + 3 ) = 2 x 10 + 2 x3                    = 20 + 6                    = 26Développer une expressionLorsqu'on utilise la distributivité (  k x ( a + b ) = k x a + k x b ou  k x ( a - b ) = k x a - k x b ) on transforme un produit en une somme ou une différence: on dit que l'on réalise un développement.Factoriser une expression.Les formules de distributivité peuvent être utilisées dans le sens inverse:k x a + k x b = k x ( a + b ) et k x a - k x b = k x ( a - b )Dans ce cas on transforme

4+ x Pour x = -4, 4 + x = 0. Il n’est donc pas possible de calculer A(-4). Pour l’expression A(x), x désigne un nombre réel différent de -4. Exercices conseillés En devoir p35 n°1 à 4 p35n°7 p35n°6 II. Développer et factoriser 1. Distributivité Définitions : Développer c’est transformer un produit en une somme (ou différence) de termes. Factoriser c’est transformer une somme en un produit de facteurs. Yvan Monka – m@ths et tiques – http://ymonka.free.fr/maths-et-tiques/ Exemple

Développements – Factorisations Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition En cinquième vous avez appris que la multiplication est distributive par rapport à l’addition : k×(c+d)=k×c +k×d Puis en quatrième, vous avez découvert la relation suivante : ( a + b ) × ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Démonstration : on utilise la relation vue en cinquième en remplaçant k par a + b ( a + b ) × ( c + d ) = ( a + b ) × c + ( a + b ) × d = ac

ensemble de « nombres » contenant l'ensemble ℝ des nombres réels, tel que : • Cet ensemble contient un nombre noté i tel que i2 =−1 . • Les opérations sont notées comme dans ℝ, les règles algébriques de calcul sont identiques : priorités opératoires, distributivité de × sur +, identités remarquables, etc. • Tout élément de cet ensemble s'écrit de manière unique sous forme a+i b où a et b sont deux réels. Définitions et notations La notation z =a+i b est appelée forme algébrique du nombre complexe z. L'ensemble