Diviseur

N3 ) = p (N3 ) 16 75 2 5 = 16 5 8 × = . 75 2 15 E XERCICE 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité n 5 points Sn = p 3 . On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus p=1 grand commun diviseur de Sn et Sn+1 . 1. Démonstration par récurrence : 1(1 + 1) 2 = 1. 2 n(n + 1) 2 . – Hérédité : supposons qu’au rang n, Sn = 2 2 n(n + 1) n2 Donc Sn+1 = Sn + (n + 1)3 = + (n + 1) = + (n + 1)3 = (n + 1)2 2 4 – Initialisation : pour n = 1, S1 = 13 =

Numération La décomposition en facteurs premiers permet de trouver tous les diviseurs d'un nombre entier. Système de numérotation positionnelle de base A : (X)A=XA=XA Pour savoir si un nombre n est premier, il suffit d'essayer de le diviser par tous les nombres premiers inférieurs à n. Calcul du PGCD : décomposition en facteurs premiers (produit des facteurs communs élevés à la plus faible puissance), utilisation de la propriété PGCDp;q=PGCDq;p-q, Algorithme d'Euclide (division euclidienne successive

Révisions Maths : PGCD : plus grand diviseur commun. Pour trouver le PGCD de deux nombres on utilise les soustractions successives ou l'algorithme des divisions successives d'euclide : Dividende | Diviseur | Reste | 182 117 65 52 | 117 65 52 13 | 65 52 13 0 | Le PGCD est le dernier reste avant 0 : PGCD (182;17)=13 Les nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1, il ont un seul diviseur commun:1 *une fraction irreductible est une fraction que l'on ne peut

noires soient utilisées. a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser (Justifier votre réponse)? b. Combien y aura-t - il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ? EX5 : 2 points a) déterminer tous les diviseurs communs au deux nombres puis indiquer le PGCD 54 et 78 b) Indiquer dans chacun des cas si les nombres sont premiers entre eux ? 1429 et 976 Ex 6 3 points RST est un triangle rectangle en R. On connaît RS = 5 cm et ST = 8cm. a)Ecrire

qui retourne la factorielle d’un entier positif ou nul (5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1). Que se passe-t-il en cas de dépassement de capacité ? Prototype : int factorielle(int n) ; 3 PGCD (*) Écrire une fonction qui retourne le plus grand commun diviseur (pgcd ) de deux nombres entiers positifs par l’algorithme d’Euclide : pgcd(a, b) = Prototype : int pgcd(int a, int b) ; a si b = 0 pgcd(b, a mod b) sinon 4 Conversion Fahrenheit - Centigrade (*) 5 Écrivez la fonction qui convertit les degrés

. . . . . . . . . . . . . Les sous-groupes de 21 21 22 23 24 26 27 28 28 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diviseurs, nombres premiers L'algorithme d'Euclide Plus grand commun diviseur ou pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plus

+ R et d ° R < d ° B . Si R = 0 , A est divisible par B ou multiple de B, et B est diviseur de A. Racines d’un polynôme Un élément α ∈ K est racine du polynôme P si P(α) = 0 . α est racine de P si et seulement si P est divisible par ( X − α) . Ordre de multiplicité d’une racine fois est le polynôme nul. Polynômes irréductibles Un polynôme A non constant est irréductible dans K [ X ] s’il n’admet pas de diviseur B dans K [ X ] tel que 1 ≤ d ° B < d ° A . Dans C[ X ] , les seuls polynômes irréductibles

somme d'un relatif et de son symétrique est égal au neutre de l'addition; 0. Le symétrique pour l'addition est appelé opposé. a+(-a) = 0 = (-a) +a Règle pour diviser un entier non-nul On divise la valeur absolue du dividende par celle du diviseur; On détermine le signe du quotient par le règle suivante: - le quotient de deux entiers de même signe est positif - le quotient de deux entiers de signes contraires est négatifs Définition de fractions à termes entiers Une fraction

des soustractions successives répétées, prémonition de ce que l'on appelle aujourd'hui division euclidienne et un algorithme qui s'effectue précisément par soustractions successives, le plus petit du plus grand, pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres connu sous le nom d'algorithme d'Euclide. ŒUVRES D’EUCLIDE : Les Elements (vers -300) Optique et Catoptrique De la divison des polygones Les Porismes Statue d’Euclide Peinture d’Euclide Peinture d’Euclide Extrait

sont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) ∈ K[X]}. Le PGCD de A et B est l’unique polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C’est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A et B deux polynômes non nuls. A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. Théorème. Deux polynômes non