Divisibilité

Test 02 Faites en sorte que vos raisonnements soient clairs et bien rédigés. Barême indicatif. Durée : 1h – Calculatrice interdite. Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix. Décembre 2009 Exercice 1 – 5 points Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11. Exercice 2 – 5 points 1. Enoncer le théorème de Fermat. 2. En déduire que pour tout nombre premier p, a p ≡ a ( p ) , où a est un entier naturel. 3. Prouver que ∀a ≥ 2, a 7 − a est divisible par 42 Exercice 3 [France 2009,

Démonstration de la transcendance de e : A 1 plan de la démonstration Définition 1 On définit les expressions « nombre algébrique », entier algébrique, polynôme normalisé, polynôme canonoque et nombre transcendant ainsi : un nombre complexe est dit algébrique s'il existe un polynôme P(x) non constant à coefficients entiers (c'est à dire dont les coefficients appartiennent à et tel que si de plus le polynôme P(x) peut être choisi « normalisé », c'est à dire tel que le coefficient

sujet brevetExercice 1 On calcule Attention aux priorités opératoires : Dans l’ordre : Entre parenthèses, puissances, produits, quotients et additions, soustractions en dernier B = −[(3 − 5) − 4] − [−(7 − 1) + 5] A = −3² − 17 − (−2)² B = −(−2 − 4) − (−6 + 5) A = −3 − 1 − 4 B = −(−6) − (−1) A = −14 B = 6 +1 B=7 C = −2 × 8 ÷ 16 − 12 ÷ 2 ÷ 3 9 23 × 3 −13 81−17 × 27 41 (3 2 ) 23 × 3 −13 F = 4 −17 (3 ) × (33 ) 41 F= 3 ×3 3 −68 × 3123 333 F = 55 3 F = 3 − 22 F= Exercice 3 On calcule et on donne l’écriture

CANDIDAT : ……… EPREUVE DE MATHEMATIQUES SERIE S option SVT Spécialité Mathématiques Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. _____________________________________________________________________________________ Exercice I (4 points) QCM : Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées. Cochez, sans justifier, les affirmations vraies. Barème : 0,5 point par réponse juste et – 0,25 point par réponse fausse, le total des points

Nombres Premiers ­ Un entier naturel n est premier si n 1 et s’il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n. ­ D´composer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c’est l’´crire sous la forme d’un e e produit de puissances de nombres premiers distincts. D´finitions : e Exemples : ­ 105 = 3 ¢ 5 ¢ 7. e 3 ¢ 5 ¢ 7 est la d´composition en produit de facteurs premiers du nombre 105. ­ 99 = 9 ¢ 11 = 32 ¢ 11 ­ 600 = 8 ¢ 3 ¢ 25 = 23 ¢ 3 ¢ 52 23 ¢ 3 ¢ 52 est la d´composition en produit de

Métropole & La Réunion septembre 2009 EXERCICE 4 : (5 points) Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 1. (a) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11. (b) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 10 par 11. (c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11. 2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre A n = 2 n + p. On note d n le PGCD de A n et A n

TS MATHPH QÇ. : 1) Donner les définitions suivantes a) Dans N, b est un diviseur de MATHEMATIOUES : DSl (SPE) Le 15110/2tl} b) pgcd(a ;b) 2) Enoncer le théorème de la division euclidienne puis le démonher (si possible) 3) Enoncer le théorème de Bezout, puis le théorème de GAUSS et le démontrer . a; : . Exercice 1 :1o)Ondonneledéveloppement (a+b)s Une expression développée de (n + naturel =et +5aob+1\a3b2 +lAazb3 +Saba +às endéduire l)t, puis démontrer par récurrence

EC1 Devoir Maison N°2 pour le 13 octobre 2011 Exercice Pour tout entier naturel n, on définit le polynôme Pn par : Pn = ou si on note [n/2] la partie entière de n/2 : [n / 2] n +1  2 k n−2k (−1) k   2k + 1(1 − X ) X  0≤ 2 k ≤ n   ∑ Pn = 1. Vérifier que P0 = 1 ; P1 = 2X ; P2 = 4 X2 – 1 2. Montrer que ∀ n ∈ N, Pn (-X) = (-1)n Pn(X) . ∑ (−1) k =0 k n +1  2 k n −2k   2k + 1(1 − X ) X    et calculer P3. 3. a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour

T S spécialité mathématiques.|Devoir surveillé n° 2|Jeudi 29 novembre 2007| Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1. 1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul. a) Montrer que M et N sont des entiers impairs. b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N. 2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l , avec p entier naturel. a) Montrer que M et N sont des

10 faits trouvés dans le film “Empire des nombres” 1.) Chaque société a des différentes façons de compter. Par exemple, la base pour les Sumériens était de 60 et la base des Mayens était de 20. Il fallait 4000 ans pour passer de compter avec les mains à compter avec les calculs. 2.) L’horloge est divisé en 60 parce que ce numéro est très divisible comparé aux autres comme 100 ou 50. 60 a 12 diviseurs : 60, 1, 30, 2, 20, 3, 15, 4, 12, 5, 10 et 6 comparé à 100, un numéro plus grand, mais qui