Division euclidienne

entre eux pour tout entier naturel n ? 3) a) Démontrez que pour tout entier naturel n , 2xn - yn = 5 b) Exprimez yn en fonction de n . c) En utilisant les congruences modulo 5, étudiez suivant les valeurs de l'entier naturel p le reste de la division euclidienne de 2p par 5. d) On note dn le pgcd de xn et yn , pour tout entier naturel n . Démontrez que l'on a : dn = 1 ou dn = 5 . En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que xn et yn soient premiers entre eux. Correction (indications)

Définition : Un algorithme est une suite finie d’opérations élémentaires, à appliquer dans un ordre déterminé, à des données. Sa réalisation permet de résoudre un problème donné. Exemples : suivre une recette de cuisine, suivre un plan, faire une division euclidienne à la main sont des exemples d’algorithme. Remarques : 1. Un algorithme doit être lisible de tous. Son intérêt, c’est d’être codé dans un langage informatique afin qu’une machine (ordinateur, calculatrice, etc.) puisse l’exécuter rapidement

Faire la liste des classes d’équivalences distinctes et donner l’ensemble quotient Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : 1. Montrer que la relation de congruence modulo [ ] Est une relation d’équivalence sur . 2. En vous servant de la division euclidienne, montrer qu’il y a exactement distinctes. Allez à : Correction exercice 2 : Exercice 3 : Sur , on considère la relation } et . classes d’équivalentes définie par ( ) ( ) 1. Montrer que est une relation d’équivalence. 2. Décrire

équations, systèmes d'équations Complexes: I désigne le complexe i. Instructions associées aux complexes: evalc(…); Re(…); Im(…); abs(…); argument(…); Forme trigonométrique: polar(2,Pi/4); convert(3–I*4,polar); Arithmétique: Reste dans la division euclidienne: 22 mod 4; Pgcd, ppcm: igcd(…); ilcm(…); Décomposition en facteurs premiers: ifactor(12); (résultat: (22)( 3)) Nombres premiers: isprime(12); (réponse: false) ; ième nombre premier: ithprime(3); Polynômes: Evaluation: P:= x+1; eval(P,x=2);

l’équation (E) et en déduire que m ≡ 9 (modulo 40). c. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers m supérieurs à 2 000. 2. a. Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 23k ≡ 1(modulo 7). b. Quel est le reste dans la division euclidienne de 22 009 par 7 ? 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a

Baccalauréat S A. P M. E. P . . Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel n dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009, c’est-à-dire tel que n 3 ≡ 2009 mod 10000. Partie A 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20092 par 16. 2. En déduire que 20098 001 ≡ 2009 mod 16. Partie B On considère la suite (un ) définie sur N par : u0 = 20092 − 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (un + 1)5 − 1. 1. a. Démontrer que u0 est divisible par 5. b. Démontrer

3X + 2)Qn (X) + an X + bn , où an X +bn est le reste dans la division euclidienne de X n par X 2 −3X +2. Pour trouver la valeur de an et bn , on évalue l’égalité précédente en les racines de X 2 − 3X + 2, c’est-à-dire en 1 et 2. On trouve le système : an + bn = 1 2an + bn = 2n dont l’unique solution est an = 2n − 1 et bn = 2 − 2n . 2. Il suffit de remarquer que A2 − 3A + 2I3 = 0. Remplaçant dans l’expression de la division euclidienne, on trouve An = (2n − 1)A + (2 − 2n )I3 . Rang Exercice 8 - Explicite

est égal à 7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7. 3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par : a = 2n 2 + 7n + 21 et b = 2n + 2. Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement égaux à n + 2 et n + 17. 4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3 + 4i. π On note s la similitude directe s de centre A, de rapport 2 et d’angle . 4 Affirmation

2004 e Ce document est la premi`re partie d’un cours d’arithm´tique ´crit pour les ´l`ves pr´e e e ee e parant les olympiades internationales de math´matiques. Le plan complet de ce cours est : e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´quences e Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´s e Polynˆmes ` coefficients entiers o a Fractions continues Cette premi`re partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres

existe une fonction ε tendant vers 0 en 0 telle que f (x) = xp ε(x) au voisinage de 0. 4/5 12. Une application des développements limités (a) Soit V un polynôme de R[X] tel que V (x) = o(xp ) au voisinage de 0. Démontrer, à l’aide d’une division euclidienne, qu’il existe un polynôme Q de R[X] tel que V = X p × Q. (b) Soit n ∈ N∗ . Démontrer l’existence d’un polynôme U de R[X] tel que l’on ait, au voisinage de 0 : 1 + x = (U (x))n + o(xp ) (on pourra utiliser un développement limité de (1 + x)α