Division euclidienne

importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse. Division euclidienne 1img363.png étape: On utilise le Théorème [et définition: division euclidienne]  
Soient img364.png , img365.png . Alors il existe un unique couple img366.png de img367.png tel que img368.png      et  img369.png On dit que img370.png est le quotient et img17.png le reste de la division euclidienne de img371.png par img372.png . Ainsi on peut écrire img373.png avec img374

représente l’algorithme d’Euclide déterminant le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers : Affecter ` a X la valeur A × 2 − 5 A et B A deux nombres Afficher la valeur de X + A Compléter le tableau ci-dessous : On effectue la division euclidienne de A par B B Valeur de A 0 3 −4 5 2 12 Valeur affichée •A prend pour valeur B D1 •B prend pour valeur r On considère l’algorithme dont la représentation est donnée par le graphique ci-dessous : Donner une valeur de A Le PGCD est B

Enoncés Division euclidienne Exercice 25 [ 02141 ] [correction] Soit (a, b) ∈ K 2 tel que a = b et P ∈ K [X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) en fonction de P (a) et P (b). Exercice 26 [ 02142 ] [correction] Soient a ∈ K et P ∈ K [X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)2 en fonction de P (a) et P (a). Exercice 27 [ 02143 ] [correction] Soient t ∈ R et n ∈ N . Déterminer le reste de la division euclidienne dans R [X] de

quotient et le reste de P par X − 1. e b) D´terminer a et b de fa¸on que A = aX n+1 + bX n + 1 soit divisible par (X − 1)2 . e c c) Soient λ et µ les restes des divisions euclidiennes de A par X − a et X − b. Calculer le reste de la division euclidienne de A par (X − a)(X − b) en fonction de λ et µ. d) Trouver le reste de la division euclidienne de P (X) = (X sin(α) + cos(α))n par X 2 + 1. Factorisation Exercice 26. Factoriser le polynˆme : o n k=0 n sin(kθ)X k k Exercice 27. Trouver les racines

Exercices corrigés Arithmétiques dans Z Exercice 1 : Division Euclidienne Dans une division euclidienne entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39 ? Correction On a 320 = q × b + 39 ⇔ q × b = 320 − 39 = 281 . Cherchons les diviseurs de 281 : 1 et 281. Ce sont les seules valeurs possibles de q et b. Exercice 2 : 1. Écrire l'ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6. 2. Déterminer les entiers relatifs n tels que n −

plusieurs méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres. On peut notamment utiliser au choix: Les listes des diviseurs de chacun des deux nombres. L'algorithme des différences. (ou des soustractions successives) L'algorithme d'Euclide. (ou des divisions successives) Maintenant ouvrez grand les yeux et regardezcomment marche chacune de ces méthodes : Exemples: 1. Calculer le PGCD de 42 et 63 enécrivant les listes de leurs diviseurs --> Pour éviter d'oublier des diviseurslorsqu'on établit

. . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et algèbres L'anneau des polynômes Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A[X] 1 La division euclidienne dans l'anneau Z et ses conséquences 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 La division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les sous-groupes de 21 21 22 23 24 26 27 28 28 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d´duire si fi est injective, surjective, bijective. e Exercice 11. Soient E = Cn [X] et A et B deux polynˆmes ` coefficients o a complexes de degr´ (n + 1). On consid`re l’application f qui ` tout polynˆme e e a o P de E, associe le reste de la division euclidienne de AP par B. 2 1. Montrer que f est un endomorphisme de E. 2. Montrer l’´quivalence e f est bijective ⇐⇒ A et B sont premiers entre eux. Exercice 12. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et ϕ une application lin´aire

[pic]=[pic]. On déduit de ces calculs de limites que la courbe Cf admet en 1 un asymptote verticale d'équation x = 1 . Pour déterminer l'asymptote oblique de Cf, mettons f sous la forme f(x) = ax + b + g(x) .Pour cela, effectuons la division euclidienne de x² – 3 par x – 1 : x² – 3 x – 1 - (x² – x ) x + 1 x + 3 - ( x – 1 ) 4 Ainsi x² – 3 = (x – 1) ( x + 1) + 4 ( on n'aurait pu le trouver « de tête »

par le reste de la division euclidienne de x e par n . • Vérifier que le cryptage du mot FERMAT est  30,14 ,6 ,7 ,1 ,26  • Crypter le mot ARITHMETIQUE. 4) Décryptage. On décrypte y en le remplaçant par le reste de la division euclidienne de y d par n . • Vérifier que le décryptage de  30,14 ,6 ,7 ,1 ,26  est FERMAT • Décrypter le mot  29,6 ,1 ,22 ,27 ,3  5) Comprendre le RSA. 7 Démontrer que si x est un entier naturel non nul inférieur à 33 et si c est le reste de a division de x par 33 alors