Droite d'Euler

Seconde Corrigé du devoir maison : Droite d'Euler Janvier 2009 Figure de l'énoncé A) Caractérisation vectorielle de l'orthocentre :  OB +  OH =  OA +  OC 1)  OB +  OC =  OA ' +  A'B +  OA ' +  A ' C (d'après la relation de Chasles)   Or, A' est le milieu de [BC], d'où : A ' B + A ' C =  0 Donc :  OB +  OC = 2 OA ' 2)  OB +  OH =  OA +  OC =  OA + 2 OA '   Or, OH = OA +  AH (relation de Chasles)   D'où : OA + AH =  OA + 2

encore appelé « cercle d'Euler  » associé au triangle. Il a démontré aussi que, dans tout triangle, l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit , le centre de gravité  et le centre du cercle des neuf points sont alignés36 . La droite qui les porte est appelée « droite d'Euler  » associée au triangle. Cercle et droite d'Euler d'un triangle quelconque -Théorie des graphes Article détaillé : Problème des sept ponts de Königsberg . Carte de Königsberg  au temps d'Euler, montrant le schéma

1S1 – Corrigé DM10 A. La droite d'Euler d'un triangle 1. Faire une figure soignée Le dessin peut être fait avec Sine qua non [pic] 2. Soit h l'homothétie de centre G qui transforme A en A'. a) On sait que le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux-tiers de la médiane. Plus précisément, si A' est le milieu de [BC] alors on a : =. On en déduit : 3=2 Donc : 3=2+2 Donc : =2 Finalement : =-)). Donc

DM Droite D'Euler 1/ Dans le triangle ABC on sait que I est le milieu de [BC] or si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. De plus les médiatrices d'un triangle sont concourantes et leur point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce triangle par conséquent (OI) est la médiatrice du segment [BC] D'après ce qui précède on a (OI) médiatrice de [BC] or la médiatrice d'un segment est la droite qui coupe

circuit pour t = 0. Justifier. 7-Déterminer la valeur de l'intensité i dans le circuit pour t > 5 Τ. Justifier. 8-Montrer que :dUC/dt = 104 (5-UC) ( relation (1) ). 9-Pour vérifier la relation (1),  on va tracer uc(t) en appliquant la méthode d'Euler. On a :UC(ti+1) = UC (ti) + (dUC/dt)ti . Δt  avec Δt=ti+1-ti      Dt étant le pas du calcul. Ici Δt = 5.10-5 s. Exemples : UC(5.10-5) = UC(0) + (dUC/dt)t=0.Δt = 0 + 104.(5-0).5.10-5= 2,5V UC(10.10-5) = UC(5.10-5) + (dUC/dt)t=5.10-5.Δt = 2,5 +

 Résolutions  numériques  d'équations   différentielles                   Logiciel  de  calcul  utilisé:  Scilab  5.1       I  Utilisation  de  la  méthode  d'Euler.               C'est   une   méthode   numérique   nommée   ainsi   en   référence   au   mathématicien  Leonhard  Euler  qui  sert  à  résoudre  des  équations  différentielles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Intégration numérique 31 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Méthodes de Riemann à droite et à gauche 2.3 2.4 2.5 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Cas d'un polynôme de degré 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Cas d'une fonction . . . . . . . . . . . . . .

1 9 ) CM et C' M colinéaires CM x+2 y 8 CC' 3 7 d’où M (CC' ) -7x-3y+10=0 (CC’) : -7x-3y+10=0 6) Soit G centre de gravité du triangle ABC. 12 2 CG = CC' 3 1 13 H,G, R sont alignés. La droite (GH) est la droite d’Euler. 8) 2 xG + 2 = 3 10 3 G(0; ) 2 3 yG 8 = ( 7) 3 4 2 7) HR( 3;2 ) HG( 2; ) donc HG = HR donc 3 3 5 3 A1( ; ) 2 2 3 3 B1( ; ) 2 2 1 ;3 ) 2 C1( 2;5 ) K( 1;5 ) 1L'ensemble des solutions de 14 l'inéquation est S= S( 9) SA1

particulier, comme le centre de gravité, le centre d'un pivot (centre du cylindre d'un perçage), un sommet. La position du solide est alors définie par six paramètres : * les coordonnées de O1 dans le repère du référentiel ; * les angles d'Euler, pour l'orientation dans l'espace. Article détaillé : Mécanique du solide. ------------------------------------------------- Cinématique des fluides Un fluide — liquide ou gaz — est constitué de nombreuses particules microscopiques, des molécules

d’affixe −1. Calculer la longueur BA2 en fonction de sin 10 puis de 5 (on π = cos 2π remarquera que sin 10 5 ). 4. On considère le point I d’affixe 2i , le cercle C de centre I de rayon 12 et enfin le point J d’intersection de C avec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puis la longueur BJ. 5. Application : Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer. Correction 5 Vidéo [000077] Trigonométrie Exercice 15 Soit z un nombre complexe de module ρ, d’argument