Dual topologique

également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.) Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de Lp si p ≥ 1. Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de Lp est Lq (avec 1/p + 1/q = 1) si 1 < p < +∞4, et aussi si p = 1 quand la mesure est σ-finie. Généralisation[modifier | modifier le code] L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence

Xi ) ) est égale à la topologie produit sur Xi des topologies σ(Xi , (Xi ) ). Soient E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel fermé de E . Nous avons vu, série 2 exercice 14, que le dual topologique F de F est E isomorphe isométriquement à l'espace quotient F ⊥ et que le dual topologique E E ( F ) de F est isomorphe isométriquement à F ⊥ . E 1) Montrer que la topologie faible σ(F, F ⊥ ) est égale à la topologie induite de σ(E, E ) sur F . 2) Montrer que la topologie faible σ( E , F

` ´ Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace p . Exemples de parties compactes de 2 ´ Enonc´ e Dual topologique d’un espace compactes de 2 p . Exemples de parties Dans tout le probl`me le corps de base des espaces vectoriels consid´r´s est C . Lorsque (E , · ) e ee est un espace vectoriel norm´, E d´signe l’espace des formes lin´aires continues sur (E , · ) . e e e Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´signe par B la boule ferm´e unit´ de E , c’est ` dire l’ensemble des

erreurs une fois pour e bien identifier les pi`ges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements e vers d’autres domaines des math´matiques (alg`bre, analyse, g´om´trie), cela e e e e afin d’exhiber l’int´rˆt et l’omnipr´sence des arguments topologiques. ee e Les choses suppos´es connues correspondent au programme du premier cycle. e Elles interviennent dans les d´monstrations et dans les exemples qui donnent e corps aux nouvelles d´finitions. Il s’agit de e 1) Techniques ensemblistes : op´rations

. . 1.2.3 Une ligne qui remplit un carr´ . . . . . . . . e 1.2.4 Koch en renfort de Weierstrass . . . . . . . 1.2.5 Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Au sujet de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 La dimension topologique . . . . . . . . . . 1.3.2 La dimension de Hausdorff-Besicovitch . . . 1.3.3 La dimension des boˆ (box-counting) . . . ıtes 1.4 Deux probl`mes physiques . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . 1.4.2 La longueur

du théorème 2, et des propriètès des suites réelles convergentes . Un autre corollaire de ce théorème affirme que si f est continue en a et si g est continue en b  f a , alors la fonction composée g  f est continue en a. 4 k) Propriètès topologiques des fonctions continues : Théorème 3: Soit f une fonction définie et continue sur une partie A de  n et à valeurs dans  p . Alors l’image par f de tout compact K de A est compact dans  p . Corollaire Toutes les normes sur  n sont deux à deux

2. D´montrer que tout F hyperplan de Mn (K) contient une matrice inversible. e 3. On suppose que K = R. Quelle est la signature de b ? Exercice 8. [Dual d’un espace vectoriel complexe] Remarquons que tout espace vectoriel complexe est ∗ ∗ naturellement un espace vectoriel r´el. Soit E un espace vectoriel complexe. Notons EC son dual et ER le e ∗ dual de E consid´r´ comme espace vectoriel r´el. Pour ∈ EC , notons Re( ) l’application x → Re( (x)). ee e ∗ ∗ 1. D´montrer que → Re( ) est une bijection

Chapitre 1. Introduction. Le but de ce chapitre est de fixer la terminologie que nous emploierons dans ce cours et de pr´senter les probl`mes que nous ´tudierons. Nous come e e men¸ons d’abord par de brefs rappels et par des notations et d´finitions c e diverses. 1. D´finitions, notations et rappels. e 1.1. Points et sous-ensembles des espaces euclidiens. R sera le corps des nombres r´els et C sera celui des nombres complexes. Nous travaillerons e la plupart du temps dans Rn et n d´signera toujours

analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se définir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche actuelle en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre. En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à

Question1 : Maîtriser les connaissances (Ma) 2 points Les formules données sont (entourer la bonne réponse) : brutes ; développées, semi-développées, topologiques, autres ? topologique est aussi acceptée, mais en réalité, aucun atome de carbone n’est représetné dans la formule topologique La vanilline et l’éthylvanilline sont-elles des isomères ? Pourquoi ? elles ne sont pas isomères car le nombre d’atomes de carbone n’est pas identique (entre autres) donc la formule