Écoulement de Stokes

liquide Figure [ 1 ]: Ecoulement laminaire Figure [ 2 ]: Viscosimètre Réalisé par Loïc Borcard et Nicolas Guillaume 4F3 Mars 2010 1. Introduction 3 2. Mécanique des fluides 4 2.1. Dynamique des fluides visqueux 5 2.2. Ecoulement laminaire et turbulent 6 3. Expériences : Frottements internes des fluides 7 3.1. 1ère expérience : Ecoulement laminaire dans un tube 8 3.1.1. Loi de Hagen-Poiseuille 9 3.1.2. Mesures 10 3.2. 2ème expérience : Ecoulement laminaire autour d’une

inertiel de l’équation de Navier Stokes et sont les ingrédients essentiels de la turbulence. une instabilité est une bifurcation dans la solution d’une équation non linéaire qui s’opère pour une certaine valeur d’une paramètre de contrôle (ou d’ordre). Pour l’équation de Navier Stokes c’est le nombre de Reynolds qui joue le rôle du paramètre d’ordre. Il existe grosso-modo deux familles de bifurcations modèles qui sont d’une grande importance pour les écoulements. Il s’agit des bifurcations supercritiques

Lorsque la longueur caractéristique décroît et la viscosité augmente, le nombre de Reynolds diminue fortement. La fluidique à bas nombre de Reynolds possède certaines caractéristiques remarquables. Un petit nombre de Reynolds entraîne souvent un écoulement laminaire : il est stable, et les lignes de courant sont bien dessinées. Au voisinage de la surface, les forces de contact entre le liquide et le solide (la surface de la canalisation) prédominent. La viscosité du fluide introduit une condition

particulier des écoulements stationnaire Définition : Un écoulement est stationnaire si en description eulérienne les grandeurs sont indépendantes du temps. − On a donc pour toute propriété physique F : F = F(→) . x et en particuler : → = → (→ ) − − − v v x Dans ce cas, les trajectoires sont données par : et les lignes de courant par : dx1 dx2 dx3 →) = v (→) = v (→) = dt − − − v1 ( x 2 x 3 x (2.9) dx2 dx3 dx1 →) = v (→) = v (→) − − − v1 ( x 2 x 3 x Remarque : dans un écoulement stationnaire

t 1  v  grad (v )  grad  v 2   rot (v )  v . 2  2°) Les équations fondamentales.   div(  v )  0 . t  L’équation de conservation de la masse :  Cas d’un écoulement incompressible : le champ des vitesses satisfait à : div(v )  0 .  L’équation de Navier – Stokes pour un fluide visqueux newtonien incompressible Dv   grad ( P)   g  (v ) . dans le champ de pesanteur :  Dt  L’équation d’Euler pour l’écoulement parfait d’un fluide non visqueux

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forces exercées par un fluide en mouvement . . . . . . . . . Définition du Cx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Écoulement autour d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Expériences possibles 1.1 Étude des chutes ralenties C’est l’étude du mouvement des corps de masse m lorsqu’ils sont soumis à leur poids P = mg et à une force de frottement fluide

Navier- Stokes ? Rep. : Ces équations traduisent le principe de conservation de la quantité de mouvement ("principe fondamental de la Dynamique"). Les équations de Navier-Stokes sont complètes et s'appliquent aux fluides réels ; celles d'Euler, simplifiées, supposent que les effets de la viscosité sont négligeables (fluides dits "parfaits"). b) Comment expliquer simplement le principe de continuité ? Rep. : Le principe de continuité traduit la conservation de la masse dans les écoulements fluides

de vitesse unidirectionnel .................................................................................. 15 b) Généralisation : écoulement incompressible ................................................................ 16 c) Diffusion de quantité de mouvement .............................................................................. 17 VI- ÉCOULEMENTS LAMINAIRE ET TURBULENT-NOMBRE DE REYNOLDS CRITIQUE ................................................. 18 1- SITUATION DU PROBLEME ....

. . . . L’équation de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fluides en équilibre 3.1 3.2 Fluide au repos dans un champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Théorèmes de Bernoulli - Applications 4.1 4.2 4.3 Écoulement parfait stationnaire incompressible

arabesques de la crème versée dans le café, ou les enchevêtrements de tourbillons dans un torrent de montagne [figure 1]. Ce que nous voyons, c'est très complexe, c'est très désordonné mais c'est très loin d'être le désordre total. Quand on regarde un écoulement turbulent, même en instantané, sur une photo, ce que l'on voit est autrement plus fascinant que l'espèce de chaos total obtenu, par exemple, en projetant une poignée de sable sec sur une feuille de papier. La turbulence, quand vous l'observez, est