Élimination de Gauss-Jordan

trouver la valeur de la variable isolée à l'étape 1. Substitution Élimination Matrice augmentée d'un système d'équations linéaires Si l’on effectue, sur la matrice augmentée d'un système, l'une des trois opérations suivantes, on obtient la matrice augmentée d'un système équivalent. i. Multiplier ligne par constante ii. Permuter les lignes (ou échanger) iii. Additionner ou soustraire le multiple d’une ligne à une autre Élimination de Gauss On appelle élément pivot d'une ligne d'une matrice, sa première

et X est le vecteur inconnu. Les questions attenantes à ce problème sont : Calculer A-1, Det(A), valeurs propres de A, vecteurs propres de A Une dizaine de méthodes existent, mais certains outils sont commun à de nombreuses méthodes… (Pivot de Gauss, Décomposition en matrice triangulaire, Méthode de substitution ) Un tel système est facilement soluble dans le cas où la matrice A est triangulaire… Pourquoi ? Par ce qu’une simple substitution itérative permet de résoudre facilement le système

. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Dépendance et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ecriture vectorielle et matricielle des systèmes linéaires 1.3.2 Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Un système 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

« INATTENDU » 21 PRELIMINAIRES Il existe beaucoup de méthodes de résolution des systèmes linéaires : substitution, méthode des combinaisons linéaires ou « d’addition », méthode des déterminants… La méthode dite du pivot de Gauss permet de résoudre de manière rapide et efficace les systèmes linéaires. Elle est utilisée par les ordinateurs car elle est de loin la plus performante. C’est aussi celle qu’on utilise en programmation linéaire et qui porte alors le nom de « méthode

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 27 29 30 32 32 33 34 35 36 37 37 37 37 37 38 38 39 39 39 41 4 Systèmes Linéaires, Méthode du Pivot de Gauss 4.1 Transformations des matrices . . . . . . . . . . . 4.2 Réduction des matrices ; Méthode du Pivot Gauss 4.3 Recherche de l’inverse d’une matrice carrée . . . . 4.4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Résoudre (S1 ): a. Par la méthode du pivot de Gauss. b. En utilisant la méthode de Cramer. Exercice 2. Soient a, b, c ∈ R et considérons x, y, z:  x + 3y − z   3x − y + z (S2 )   −2x + y − 3z 2.1 - Résoudre (S2 ) par la méthode du pivot B d’ordre 3 telle que    x  y =B z le système linéaire d’inconnnues = a = b = c de Gauss et déterminer la matrice  a b  c 2.2 - Justifier que (S2 ) est inversible et calculer par la méthode du pivot de Gauss l’inverse A−1 de la matrice A du système linéaire

Corrigé du TD n° 1 Systèmes d’équations linéaires : résolution par la méthode du pivot de Gauss et représentation matricielle La méthode du pivot consiste à garder une équation intacte, qu’on appelle le pivot, et à éliminer une inconnue dans le reste du système en remplaçant chacune des autres équations par une combinaison linéaire d’elle-même (avec un coefficient non nul) et du pivot. Si le reste du système contient plusieurs équations, l’opération doit être réitérée. EXERCICE 1 — Les équations

− 1 et bn = 2 − 2n . 2. Il suffit de remarquer que A2 − 3A + 2I3 = 0. Remplaçant dans l’expression de la division euclidienne, on trouve An = (2n − 1)A + (2 − 2n )I3 . Rang Exercice 8 - Explicite... - L1/Math Sup On utilise la méthode du pivot de Gauss pour mettre la matrice sous forme échelonnée. 1. On a     1 2 3   rg(A) = rg  0 −1 −2  L2 − 2L1 0 −2 −4 L3 − 3L1 1 2 3   = rg  0 −1 −2  . 0 0 0 L3 − 2L2 Le rang de la matrice est donc égal à 2. 2. On a     1 1 1   rg(B) =

* Deux droites sécantes ont un seul point d’intersection : le système correspondant admet alors une unique solution. Exemple : Tracé des droites associées aux fonctions affines: Méthode du pivot de Gauss | Algèbre -- Algèbre linéaire -- Systèmes linéaires   La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Analyse de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Description de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Analyse de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 La factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 La méthode de Gauss vs. la factorisation LU . . . . 3.5.2 Le calcul du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Existence