Endomorphisme autoadjoint

(x|y) = xj yj =t XY (expression j j=1 j=1 matricielle) 2.2 Supplémentaire orthogonal Soit F un sev de E , F admet un supplémentaire orthogonal, dimF ⊥ = dimE − dimF , (F ⊥ )⊥ = F 2.3 Adjoint d'un endomorphisme 2.3.1 Existence et unicité Soit u ∈ EndE ; il existe un unique endomorphisme u∗ tel que ∀(x, y) ∈ E 2 , (u(x)|y) = (x|u∗ (y)), u∗ est l'adjoint de u ; matrice dans une bon 2.3.2 Propriétés L'application u → u∗ est un automorphisme involutif de EndE ; (uv)= v ∗ u∗ , tr(u∗ ) =

déduire la valeur de d(X n , H). Partie II Un endomorphisme d’un espace euclidien E est autoadjoint si pour tous x, y ∈ E, f (x)|y = x|f (y) . n On note Π = i=0 (X − i) et on fixe un polynôme M0 dans E. On considère l’application φ de E dans E qui à tout P associe le reste de la division euclidienne de M0 P par Π. 1. Montrer que φ est un endomorphisme de E. 2. Exprimer φ(Li ) en fonction de Li . En déduire que φ est un endomorphisme autoadjoint de E. 3. Donner une condition nécessaire et

difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile Exercice 1 *** Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un projecteur p et un automorphisme g de E tel que f = g ◦ p. Correction [005598] Exercice 2 **I Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que ∀x ∈ E, ∃p ∈ N∗ tel que f p (x) = 0. Montrer que f est nilpotent. Correction [005599] Exercice 3 *** Soit E un C-espace vectoriel

L’application ϕ : y → xy, d´finie sur KE , est bien ` valeurs dans KE (stabilit´ pour le produit.) e a e Cette application est ´videmment Q-lin´aire. e e Elle est injective. En effet : y ∈ ker ϕ ⇒ xy = 0 ⇒ y = 0 car x = 0. Ainsi ϕ est un endomorphisme injectif de l’espace vectoriel de dimension finie KE . On en d´duit que ϕ est un isomorphisme de KE . e En particulier, il existe y dans KE tel que ϕ(y) = 1, c’est-`-dire tel que xy = 1. a Cela signifie que l’inverse de x dans R pour le produit

In . Si M est une matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie par +∞ Mk . On rappelle que l’application t → exp(tM ) de R dans Mn (R) est de classe exp M = k! k=0 C 1 , et que sa dérivée en 0 est M . De même, si ϕ est un endomorphisme d’un R-espace vectoriel +∞ k ϕ de dimension finie, on note exp(ϕ) son exponentielle donnée par la série . k! k=0 Soit U un ouvert de Rn . Si f : U → Rp est une application de classe C 1 , on note dfx sa différentielle au point x, soit : 1 ∀h ∈ Rn

○) et (F, ■) deux ensembles munis des LCI ○ et ■. Une application f : E→F est un morphisme de (E, ○) dans (F, ■) si : ∀( ?, ?) ∈ ?², ?( ? ?) = ?(?)■?(?) Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. GROUPE SOUS-GROUPE Un ensemble G muni d’une LCI ∗ est un groupe Une partie H non vide de (G,∗) est un soussi : groupe de G si : i. ∗ est une loi associative i. L’élément neutre

famille Ei,j 1 i,j n est une base de Mn (C), dite base canonique, et que ∀ (i, j, k, l) ∈ {1, . . . , n}4 , Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l , avec δj,k = 1 si j = k et 0 sinon. Pour tout couple (P, Q) d’´ l´ ments de GLn (C), on notera uP,Q et vP,Q les endomorphismes de ee Mn (C) d´ finis par e ∀ M ∈ Mn (C), uP,Q (M ) = P M Q et vP,Q (M ) = P tM Q. Premi` re partie e 1. Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). (a) Pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1, . . . , n}, exprimer les matrices AEi,j et Ei,j A dans ee la base

f(0_E )=0_F ; f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de

degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres de uλ . L’endomorphisme e uλ est-il diagonalisable ? Solution : 1. L’application

f : R → R définie par f (x) = xn . Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [correction] Justifier que exp : C → C est un morphisme du groupe (C, +) vers (C , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 3 [ 02220 ] [correction] Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour a ∈ G, on note τa l’application de G vers G définie par τa (x) = axa−1 . a) Montrer que τa est un endomorphisme du groupe (G, ×). b) Vérifier que ∀a, b ∈ G, τa ◦ τb = τab