Endomorphisme linéaire

les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0. 1. Montrer que u n’est pas inversible. 2. Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés. Correction Exercice

lois ∗ et T. Soit f une application de E dans F . On dit que f est un homomorphisme (ou un morphisme) de (E, ∗) dans (F, T) si : ∀ (x, y) ∈ E 2 , f (x ∗ y) = f (x)Tf (y). Cas particuliers – Un morphisme de (E, ∗) dans (E, ∗) est appel´ un endomorphisme de (E, ∗). e – Un morphisme bijectif de (E, ∗) dans (F, T) est appel´ un isomorphisme. e – Si un tel isomorphisme existe, on dit que (E, ∗) et (F, T) sont isomorphes. D’un point de vue math´matique, deux ensembles isomorphes ont exactement

Correction 1.a 1.b u n est un endomorphisme de E et on sait qu’image et noyau d’un endomorphisme sont des sous-espaces vectoriels. ∀y ∈ Fn +1 = Im u n +1 , ∃x ∈ E tel que y = u n +1 (x ) donc y = u n (u (x )) ∈ Im u n = Fn . Ainsi Fn +1 ⊂ Fn . ∀x ∈ Gn = ker u n , on a u n +1 (x ) = u (u n (x )) = u (o ) = o donc x ∈ ker u n +1 = Gn +1 . Ainsi Gn ⊂ Gn +1 . 2. F ⊂ E . Pour tout n ∈ ℕ , o ∈ Fn car Fn est un sous-espace vectoriel de E , donc o ∈ F . Soit λ , µ ∈ ℝ et x , y ∈ F . Pour tout

propre λi . 7. Démontrer que Kp = C1 ⊕ · · · ⊕ Ck . 8. (a) Soit v un endomorphisme de Kp qui commute avec u et Q un polynôme à coefficients dans K. Démontrer que Ker Q(u) est stable par v. (b) En déduire que pour tout i ∈ {1, . . . , k}, le sous-espace caractéristique Ci est stable par u. On note ainsi uCi l’endomorphisme induit par u sur Ci . 9. Soit i ∈ {1, . . . , k}. Justifier que l’application uCi − λi idCi est un endomorphisme de Ci nilpotent. 10. En déduire que la matrice A peut s’écrire sous

soit donc . Proposition : , est une -algèbre Exemple : c. Propriété algébrique de polynôme d’endomorphisme Théorème : Si , Est un morphisme de groupe de -algèbre. , et Définition : est une sous algèbre de d. Polynôme endomorphisme et SEV stable Proposition : , , stable par et stable par f Conséquence : stable par . , , . Proposition : Si , si et si est un SEV stable par f Alors e. Polynôme annulateur Définition : Si , si on dit que est un polynôme annulateur

APPLICATIONS LINEAIRES Soit E et F deux e.v. sur R. On dit que f est une application linéaire (ou A.L.) de E dans F ⟺ {█(∀x∈E et ∀λ∈R,f(λ.x)=λf(x)@∀x et ∀y∈E,f(x+y)=f(x)+f(y) )┤ ⟺ (∀x∈E,∀y∈E,∀λ∈R) f(x+λy)=f(x)+λf(y) Soit f∈L(E,F). (x et y étant des vecteurs) Notation : l’ensemble des applications linéaires de E dans F se note L(E,F). Propriétés : f(0_E )=0_F ; f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se

déduireque E est stablepour le produit matriciel. A-t en fonctionde,4. et 3) ialculer e2.eÀdéduire que Aèst inversible exprimer maintenantl'application rpl qui à toute matriceM de E associe: 4) On considère qe(lut):AMA-'. de a) Montrer gve gt est un endomorphisme E. de que çl estun automorphisme E. b) DéterminerKerrpspuis montrer 5) a) Écrire la matrice Qe de gt dansla base(1,J, K,I), puisjustifier gue Qt est diagonalisable' propresassociés. b) Donner les valeurspropresde q1 ainsique les sous-espaces On

Endomorphismes normaux Notations. — Dans la suite K d´signe un corps commutatif de caract´ristique = 2 (et le plus e e souvent K = R ou C). 1. Endomorphismes remarquables d’un espace quadratique. D´finition . — On dit dit que le couple (E, φ) est un espace quadratique lorsque e E est un K-espace vectoriel et φ une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e sur E, ie : e e e e e e ∀x ∈ E, (∀y ∈ E, φ(x, y) = 0 ⇒ x = 0). Dans la suite de cette section, on fixe (E, φ) un espace quadratique. D´finition

○) et (F, ■) deux ensembles munis des LCI ○ et ■. Une application f : E→F est un morphisme de (E, ○) dans (F, ■) si : ∀( ?, ?) ∈ ?², ?( ? ?) = ?(?)■?(?) Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. GROUPE SOUS-GROUPE Un ensemble G muni d’une LCI ∗ est un groupe Une partie H non vide de (G,∗) est un soussi : groupe de G si : i. ∗ est une loi associative i. L’élément neutre

b) Déterminer un supplémentaire de F dans F(R, R). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 octobre 2013 Applications linéaires Exercice 25 [ 01703 ] [correction] Les applications entre R-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires : a) f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x + y + 2z b) f : R2 → R définie par f (x, y) = x + y + 1 c) f : R2 → R définie par f (x, y) = xy d) f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x − z ? Exercice