Endomorphisme linéaire

±1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes Table des matières 3 Equations différentielles, équations fonctionnelles 17 18 19 20 Une équation différentielle linéaire d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations différentielles 24 25 26 27 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . Equations différentielles, courbes paramétrées Une équation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

matrice symétrique réelle à n lignes et n colonnes telle qu’il existe un entier k vérifiant Ak = In .Montrer que A 2 = In . EXERCICE 15. Vrai ou Faux. E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps de nombres complexes K. Soit f un endomorphisme de E. Id est l’application identique. Donnez votre opinion sur les assertions suivantes (à justifier par une démonstration). 01. Si f 2 = f , alors f est inversible. 02. Si f est inversible, alors f −1 est diagonalisable. 03. Si f est diagonalisable

x 0 ), K , f ( x 0 ) ) est libre} est majoré par n et non vide. Il admet un plus grand élément m . La famille x0 , f ( x0 ), f ( x0 ), K , f ( 2 m−1 On a prouvé que : f ( x0 ) ∈ Vect (( x0 , f ( x0 ), K , f m est une combinaison linéaire de x0 , K , f m+k ( ( x0 ) est libre et la famille x0 , K , f m ( x0 ) est liée donc f m ( x0 ) m−1 ) ( x0 ) . ) ( ) m −1 m −1 Supposons que : f c’est à dire que f m ( x0 ) ∈ Vect x0 , f ( x0 ), K , f ( ( x0

M_n(K) Matrice d’une application linéaire - Expression matricielle d’une application linéaire - Matrice carrée d’un endomorphisme – Calcul élémentaire de l’inverse d’une matrice carrée inversible ….. c’est tout pour cette colle Les colles de cette semaine seront ciblées sur : Les matrices en tant que tableaux de scalaires , les opérations et les structures de certains ensembles de matrices La matrice d’une application linéaire et son usage en lien avec noyau , image

n o 4 Applications linéaires Exercice 1 Déterminer si les applications suivantes sont linéaires : g1 : R → R g2 : R → R g3 : R → R f1 : R2 → R2 f2 : R3 → R3 f3 : R3 → R3 f4 : R2 → R4 f5 : R3 [X] → R3 g1 (x) = 2x + 5 g2 (x) = 2x g3 (x) = x2 f1 (x, y) = (2x + y, x − y) f2 (x, y, z) = (xy, x, y) f3 (x, y, z) = (2x + y + z, y − z, x + y) f4 (x, y) =( (y, 0, x − 7y, x + y) ) f5 (P ) = P (−1), P (0), P (1) Exercice 2 Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire f : R4 → R telle que f

Planche no 19. Applications linéaires continues, normes matricielles * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (*) : On munit E = R[X] de la norme 1) Vérifier brièvement que ∞ est une norme sur E. 2) Soit f l’endomorphisme de E défini par ∀P ∈ E, f(P) = XP. Démontrer que l’application f est continue sur (E, déterminer |||f|||. no 2 (**) : On munit E = ℓ∞ (C) le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme u ∞ ∞ ∞ définie par

que A−1 est centro-symétrique. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés Matrice d’une application linéaires Exercice 40 [ 01269 ] [correction] Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires f suivantes : a) f : c) f : R3 → R2 (x, y, z) → (x + y, y − 2x + z) R3 [X] → R3 [X] P → P (X + 1) b) f : d) f : R3 → R3 (x, y, z) → (y + z, z + x, x + y) P → (P (1), P (2), P (3), P (4))

(x|y) = xj yj =t XY (expression j j=1 j=1 matricielle) 2.2 Supplémentaire orthogonal Soit F un sev de E , F admet un supplémentaire orthogonal, dimF ⊥ = dimE − dimF , (F ⊥ )⊥ = F 2.3 Adjoint d'un endomorphisme 2.3.1 Existence et unicité Soit u ∈ EndE ; il existe un unique endomorphisme u∗ tel que ∀(x, y) ∈ E 2 , (u(x)|y) = (x|u∗ (y)), u∗ est l'adjoint de u ; matrice dans une bon 2.3.2 Propriétés L'application u → u∗ est un automorphisme involutif de EndE ; (uv)= v ∗ u∗ , tr(u∗ ) =

vecteur x de E se décomposant comme x = x1 + x2 , avec (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 , associe le vecteur x1 . On rappelle que si A est une matrice de Mn (R), la matrice exponentielle de A est la matrice : exp(A) = Ak . k=0 k! +∞ De même si u est un endomorphisme de E, l’exponentielle de u est l’endomorphisme : exp(u) = uk . k=0 k! 1/4 +∞ Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable

− λ). L’endomorphisme f admet exactement deux valeurs propres distinctes à savoir λ = 1, valeur propre d’ordre 2 et µ = 4, valeur propre d’ordre 1. 1 1 1 4) D’après la question 2), pour tout entier naturel m, fm = 1m (id − j) + 4m j et les endomorphismes p = id − j et 3 3 3 1 q = j conviennent. 3 Réciproquement, si ∀m ∈ N, on a fm = 1m p + 4m q, on a nécessairement p + q = f0 = id et p + 4q = f1 = id + j et donc 1 1 3q = (id + j) − id = j puis q = j et enfin p = id − q = id − j. Ceci montre l’unicité