Ensemble vide

SOUS-GROUPES DE (, +) On note (, +) l'ensemble  des entiers relatifs muni de l'addition usuelle. Cet ensemble ainsi constitué est un groupe car la loi + est : · une loi de composition interne (cela signifie qu'elle s'applique à des éléments de  et a pour résultat un élément de  : "(x, y) Î  ´ , x + y Î ) · associative ("(x, y, z) Î  ´  ´ , (x + y) + z = x + (y + z)) · possède un élément neutre 0 ("x Î , x + 0 = 0 + x = x) · et tout élément admet un symétrique ("x Î , $y Î  tel que x

CHAPITRE 1 LES ENSEMBLES 1.1. Introduction De nombreux problèmes mathématiques ne concernent que des objets pris individuellement. Par exemple, la question « le nombre entier 211 −1 est-il premier ou non ? » porte sur le nombre 211 −1, qui semble être, d’un point de vue intuitif, un objet « atomique » des mathématiques. Il existe cependant beaucoup d’autres situations dans lesquelles il est important de pouvoir considérer un regroupement d’objets mathématiques sans avoir à nommer spécifiquement

n’est pas une fonction constante » d) « f ne prend jamais deux fois la même valeur » e) « la fonction f présente un minimum » f) « f prend des valeurs arbitrairement grandes » g) « f ne peut s’annuler qu’une seule fois ». Soit I un intervalle de ℝ non vide et f : I → ℝ une fonction à valeurs réelles définie sur I . Exprimer les négations des assertions suivantes : a) ∀x ∈ I , f (x ) ≠ 0 b) ∀y ∈ ℝ , ∃x ∈ I , f (x ) = y c) ∃M ∈ ℝ, ∀x ∈ I , f (x ) ≤ M d) ∀x , y ∈ I , x ≤ y ⇒ f (x ) ≤ f (y ) e) ∀x , y ∈

des assertions similaires faisant intervenir lim inf an . n→∞ (c) V´rifier que an −→ l ∈ R si et seulement si lim sup an = lim inf an = l. e n→∞ n→∞ n→∞ 2. On consid`re un ensemble E, et (An )n≥1 une suite de sous-ensembles de E. Si A ⊆ E, on e note 1A sa fonction caract´ristique. e (a) Que repr´sentent les ensembles suivants, e Ak , n≥1 k≥n n≥1 k≥n Ak ? Le premier est not´ lim inf n→∞ An , le second lim supn→∞ An . Relier les fonctions e caract´ristiques 1lim inf n→∞ An , 1lim supn→∞

complets Ensembles non-mesurables R´ef´erences bibliographiques 3 9 13 19 24 25 31 36 41 45 50 55 62 67 72 76 85 97 102 113 120 120 127 137 142 144 TRIBUS 3 1. Tribus 1.1 D´ efinition. Soit Ω un ensemble et F ⊂ P(Ω) une collection de sous-ensembles de Ω. On dit que F est une tribu sur Ω si elle v´erifie les conditions suivantes : (i) ∅ ∈ F ; (ii) si, pour tout n ∈ N on a An ∈ F, alors ∪ An ∈ F ; n∈N (iii) si A ∈ F, alors Ω \ A ∈ F. En toutes lettres : une tribu contient l’ensemble vide et l’espace

babilitéBTS CGO 1re année Probabilités sur les ensembles finis Probabiltés sur les ensembles finis 1 Rappels 1.1 Expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont ont connaît les résultats possibles mais sans savoir à l’avance celui qui sera réalisé. Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire s’appelle une issue ou une éventualité. L’ensemble de toutes les issues s’appelle l’univers ; on le note souvent Ω. Un événement est une partie de l’univers. Un

arrière Dans une arborescence de racine n (en fait à chaque noeud n se pose le même problème), les paramètres intervenant sont le chemin ch suivi au dessus de n (donc la liste vide si n est vraiment la racine), l'ensemble des solutions sol déjà obtenues, l'ensemble "fr" des frères de droite de n et la liste "efr" des ensembles de frères non encore explorés correspondant à chacune des étapes du chemin ch. (Ici n n'est pas dans ch, par n&ch, nous entendons le chemin débutant par n et se poursuivant par

1 sur 8 ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations Non exigible 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. ℕ= {0 ;1;2 ;3 ;4...} . Exemples : 4 ∈ℕ -2 ∉ ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ.  = {...−3 ;−2 ;−1; 0 ;1; 2 ; 3 ...} . Exemples : -2 ∈ ℤ 5∈ ℤ 0,33 ∉ ℤ 3. Nombres décimaux

facilité n’est pas toujours élégante» Voltaire Résumé de Toto Ordre inévitable : pas des sens sans désordres. « Les rochers, les fleuves, les plantes ou les insectes livrent leurs structures a l’observateur» seul il représentent le désordre, ensemble ils représentent l’ordre. On bâtit donc en ordonnant pour que la nature paresse comme un paysage. Pour que la nature cesse d'être sauvage l’homme doit intervenir. La répétition, l’alignement et la juxtaposition d’élément identiques imposent l’ordre

norme UML 1.3 (et sup.) de l'OMG (Object Management Group) OCL en version 2.0 : spécification à part de la norme UML 2.0, en cours de normalisation par l'OMG OCL permet principalement d'exprimer deux types de contraintes sur l'état d'un objet ou d'un ensemble d'objets : Des invariants qui doivent être respectés en permanence Des pré et post-conditions pour une opération : Précondition : doit être vérifiée avant l'exécution Postcondition : doit être vérifiée après l'exécution Attention : une expression