Ensemble vide

comme aide mémoire pour un étudiant abordant pour la première fois le cours de probabilités. Il est constitué de six chapitres Le premier chapitre est un rappel des outils de base de l’analyse combinatoire, après un bref survol de la théorie des ensembles et des fonctions, on y expose les principes fondamentaux de l’analyse combinatoire. Dans le second chapitre on aborde la théorie moderne du calcul des probabilités en donnant la définition mathématique d’un espace de probabilités, nous avons essayé

LA FRANCE. Les caractéristiques de la population française en Europe. Répartition de la population française. * 1 des pays d’Europe le moins peuplé. (118 hab/km²) (moyenne européenne : 145hab/km²) (Dossier p 312/313) - Une diagonale du vide* de la Lorraine à l’Aquitaine => rural profond* Grande réserve d’espace / grande superficie boisée (forêt environ 1/3 du territoire français) (Dossier p 308/309) - Taux d’urbanisation = 80% * ¾ des habitants se concentrent sur seulement

4XHOTXHVQRWLRQVXWLOHVDYDQWG·DERUGHUOHFRXUVjSURSUHPHQWSDUOHU  1. Théorie des ensembles : généralités L’arithmétique étudiant les nombres entiers, il sera important de bien préciser certaines propriétés que possède l’ensemble de ces nombres. Mais il est avant tout essentiel de se faire une petite idée de la notion d’ensemble en général et de voir (ou revoir) certaines propriétés et définitions. a. Ensembles et éléments : notions essentielles Donner une définition d’un « ensemble » au sens mathématique n’est pas le plus aisé

Cours d’analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 2 3 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . .

Analyse I Maths 104 - Maths 104b Thierry Ramond Math´matiques e Universit´ Paris Sud e e-mail: thierry.ramond@math.u-psud.fr version du 29 aoˆt 2010 u Table des mati`res e 1 Nombres r´els e 1.1 1.2 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R`gles de calcul dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La relation d’ordre . . . . .

lien entre les deux tables) SELECT * FROM Etudiants WHERE Numéro NOT IN(SELECT NumEtudiantFROM notes) RELATION Cardinalités : un match peut être relié à plusieurs joueurs. Un joueur peut jouer plusieurs matchs. 0 à n Contrainte sur les ensembles :Inclusion : la personne qui dirige un service appartient à ce service.Exclusion : une personne ne peut suivre et enseigner le même cours.Exclusif : un produit est soit stocké dans une entrepôt, soit utilisé dans une usine. Passage à un modèle logique

EXERCICES SUR LES ENSEMBLES 1. On consid`re les ensembles suivants : e A = {1, 2, 5} , B = {{1, 2}, 5} , C = {{1, 2, 5}} , D = {∅, 1, 2, 5} , E = {5, 1, 2} , F = {{1, 2}, {5}} , G = {{1, 2}, {5}, 5} , H = {5, {1}, {2}} . 1) 2) 3) 4) Quelles sont les relations d’´galit´ ou d’inclusion existant entre ces ensembles ? e e Donner le nombre d’´l´ments de chacun de ces ensembles. ee D´terminer A ∩ B, G ∪ H, E \ G. e Quel est le compl´mentaire de A dans D ? e 2. Les notations ∅, {∅}

. . . . . . . . . . Fonctions usuelles Ensembles, applications, structures 11 12 13 14 15 16 Etude d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensembles et applications 18 19 20 21 22 23 Fonctions caractéristiques de parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensembles, applications Borne supérieure dans Pf (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensembles, relations d’ordre Etude de deux groupes isomorphes

usuelles de e d´monstration et ensembles e 1.1 Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . 1.2 M´thodes de d´monstration . . . . . . . . . . . e e 1.2.1 D´monstrations ´l´mentaires directes . . e ee 1.2.2 D´monstrations indirectes . . . . . . . . e 1.2.3 D´monstration par r´currence . . . . . . e e 1.3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . .

graphe est la plus grande distance séparant deux sommets de ce graphe. Connexité On dit qu’un GNO est « connexe » s’il deux éléments quelconques de ce graphe sont reliés par au moins une chaîne. On appelle « composante connexe » d’un GNO, un sous-ensemble maximal de sommets tels qu’il existe une chaîne entre deux sommets quelconques. Un GO est « fortement connexe » si, quels que soient deux sommets x et y, il existe un chemin reliant x à y et un reliant y à x. Initiation à la théorie des graphes