Entier naturel

dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné. On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0 , la propriété P(n) est vraie. Pour cela, on procède en deux étapes : Etape 1. On vérifie que P(n0 ) est vraie, Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque. On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est vraie. Exemple 1. Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 6, 2n

l’intervalle [0 ; 2] par f (x) = e x+1 ´ 1. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2]. Montrer que si x ∈ [1 ; 2] alors f (x) ∈ [1 ; 2]. 2. (un ) et (vn ) sont deux suites d´finies sur N par : e u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ). v0 = 2 et pour tout entier naturel n, vn+1 = f (vn ). (a) Le graphique donn´ ci-dessous repr´sente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2]. e e Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (un ) et (vn ) en laissant

(preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre premier > 2 est de la forme 4n − 1 ou 4n + 1 (n entier naturel). 2. Soit p un nombre premier > 2. On pose q = 22 × 3 × 5 . . . × p − 1 (le produit comprend

matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite définie pour tout entier naturel n par est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques et définies pour tout entier naturel n par et . b) Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel n par : , et On pose pour tout entier naturel n : On pose encore : et . On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : . En effet : c) Soit

EXERCICE 4 1. Soit n un entier naturel non nul. un+1 ≤ 0, 95un ⇔ n10 (n + 1)10 2n+1 (n + 1)10 ≤ 0, 95 n ⇔ ≤ 0, 95 n ⇔ 2n+1 2 n10 2 n+1 n 10 On a montré que ≤ 0, 95 × 2 ⇔ 1 n 1 x 10 1+ 1 n 10 ≤ 1, 9. pour tout entier naturel n, un+1 ≤ 0, 95un si et seulement si −1 x2 1 x 9 1+ ≤ 1, 9. 9 2. a. f est dérivable sur [1, +∞[ et pour x ≥ 1, f ′ (x) = 10. sur [1, +∞[ et donc 1+ =− 10 x2 1+ . f ′ est strictement négative f est strictement décroissante sur

proche on peut calculer tous les termes en partant du premier. Suites croissantes et décroissantesUne suite (un) est strictement croissante si pour tout entier naturel n on a un < un+1. Une suite (un) est strictement décroissante si pour tout entier naturel n on a un > un+1. Une suite (un) est constante si pour tout entier naturel n on a un = un+1. Pour comparer un+1 et un on peut étudier le signe de leur différence ou, si tous les un sont strictement positifs, comparer leur quotient

–9,4 au rang 4 etc. On a donc défini une fonction !! Par exemple, 6 est l'image de 2 par cette fonction. b) définition et notation : définition : Une suite numérique u est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ou sur une partie de à partir d' un certain entier naturel (**)) Cette suite est notée (un) On note un ou u(n) le terme de rang n de la suite. Ex : ► Le tableau ci-dessous donne la température moyenne annuelle relevée à Paris (source : station météo de Paris-Montsouris)

désigne l’ensemble des entiers naturels. Le corps des nombres réels est noté R et celui des nombres complexes est noté C. Par ailleurs, K désignera soit R, soit C. Enfin, on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique. 1. Généralités 1.1 Définitions Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est

d’´pargne le 28 mars et le 28 avril. ` e 2. On d´signe par en le montant th´orique du versement du compte courant au plan d’´pargne le 28 du ne mois e e e qui suit le mois de d´cembre 1997. e 1 On a donc en+1 = (en + 2000). 2 Pour tout nombre entier naturel n non nul, on d´finit la suite (vn ) par vn = 2000 - en . e (a) D´montrer que la suite (vn ) est g´om´trique de raison 0,5 et de premier terme v1 = 1000. e e e (b) En d´duire l’expression de vn en fonction de n. e (c) Calculer v1 + v2 + . . . +

point d’abscisse 1 ; • pour tout entier naturel n, le point An+2 est le milieu du segment [An An+1 ]. 1. a. Placer sur un dessin la droite D, les points A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 et A6 . On prendra 10 cm comme unité graphique. b. Pour tout entier naturel n, on note an l’abscisse du point An . Calculer a2 , a3 , a4 , a5 et a6 . an+1 + an c. Pour tout entier naturel n, justifier l’égalité : an+2 = . 2 1 2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, an+1 = − an + 1. 2 2 3. Soit