Enveloppe convexe

permettre d’enrichir e e une le¸on sur le sujet avec des applications de haut niveau. c Les r´sultats ´nonc´s pourront notamment ˆtre utilis´s dans les le¸ons suivantes : e e e e e c – Fonctions monotones, fonctions convexes, exemples et applications, – Parties convexes, fonctions convexes d’une ou plusieurs variables, applications – Barycentres dans un espace affine r´el de dimension finie ; convexit´. Applications. e e mais aussi, entre autres, – Applications diff´rentiables d´finies sur un ouvert de Rn

des ensembles et des fonctions convexes, constitue une branche de la géométrie et de l'analyse qui unie des phénomènes à première vue totalement dissemblables. Elle intervient à divers niveaux dans des branches très variées des mathématiques (théories des nombres, problèmes combinatoires, théories des jeux, optimisation, analyse fonctionnelle... ), de la phisique et aussi en économie. Minkowski (1864-1909) fut le premier à étudier systématiquement les ensembles convexes et ses oeuvres contiennent la

Exercice 131 1.a. 1.b. Méthode Conseil Pour trouver tous les points d'ordonnée 5 sur la courbe , on peut tracer la droite d'équation et repérer tous ses points d'intersection avec la courbe . On lit ensuite leurs abscisses : ce sont les solutions. Les solutions de l’équation sont et . Suite Exercice 131 1.c. . Méthode Conseil Bien comprendre le raisonnement : le point d'abscisse de a pour coordonnées . Le point d'abscisse de a pour coordonnées Dire que c'est dire

permettent d’´valuer les sollicitations dans les poutres contie e nues en b´ton arm´. Ces deux m´thodes sont pr´sent´es dans la partie 7 ainsi e e e e e que la construction de l’´pure d’arrˆt de barres ` partir de la connaissance de e e a la courbe enveloppe du moment fl´chissant. e Ce qui suit est limit´ au calcul des sections rectangulaires et en T sans acier e comprim´. Pour ce qui est des sections en T on se reportera au paragraphe 4.4. e S’il apparaˆ n´cessaire de placer des aciers comprim´s dans

l’ensemble des solutions. Si est vide, le problème n’a pas de solution réalisable. Sinon le problème possède une solution optimale, à moins que Z ne soit pas borné sur . On distingue les contraintes lâches et saturées. Propositions est un polyèdre convexe (par construction). S’il existe une solution optimale finie, c’est un sommet de . Forme canonique & standard Transformation d’écriture et Forme standard  Un problème est dit sous forme standard si et seulement si toutes les vraies contraintes

|L1MASS (groupe B) |10/11/2006 | |ABOUSSABR Nawal | | |BERTHOUX Yvan |[pic] | |LESPAGNOL Vivien

Conditions de KKT :  L(x,λ,μ)=J(x)+ λigi(x)+ μifj(x) 1≤i≤m 1≤j ≤p (1≤i≤m), (1≤j ≤p), (1≤j ≤p), (1≤j ≤p),  ∇xL(xmin, λ, μ) = 0, fj(xmin) ≤ 0 μ≥0  j  μjfj(xmin) = 0 2.4 Optimisation convexe Optimisation convexe (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v).   g(x)=0 i min  La notion de convexité possède un rôle privilégié en théorie de l’optimisa- tion car elle permet d’obtenir des conditions globales d’existence, mais aussi par l’existence de conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité

L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . II.6 Dérivabilité forte et dérivabilité au sens de Schwarz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . .

free.fr/ http://quedisentleseconomistes.blogspot.com/ Outils mathématiques à connaître : 1) Etude d’une fonction : - calcul de la dérivée première (fonction croissante si f’(x)≥0 et décroissante si f’(x)≤0) - calcul de la dérivée seconde (fonction convexe si f’’(x)≥0 et concave si f’’(x) )≤0) - recherche des extremums : recherche des points d’annulation de la dérivée et définition du type d’extremum (maximum si f’’(x)<0 et minimum si f’’(x)>0) 2 2) Résolution d’un programme de maximisation Exemple

Fonctions convexes : corrigé Inégalités de convexité Exercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé