Enveloppe convexe

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 OPTIMISATION 43 5.1 Extremums locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 TRANSFORMATIONS DE L’ESPACE EUCLIDIEN 6.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Transformations

    TRACER LE GRAPHE D'UNE FONCTION  Sommaire 1.  Méthodologie : comment tracer le graphe d'une fonction .................................................... 1    En combinant les concepts de dérivée première et seconde, il est maintenant possible  de tracer le graphe d'une fonction avec une précision surprenante : la dérivée première  représente  la  pente  d'une  fonction  et  permet  de  déterminer  la  croissance  ou  la  décroissance de celle‐ci ; les points stationnaires et critiques permettent d'obtenir des 

sa courbe représentative dans un repère. • Dire que f est convexe sur Ι signifie que sur Ι, la courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. • Dire que f est concave sur Ι signifie que sur Ι, la courbe est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes. Illustration - convexité Illustration - concavité Illustration avec la fonction exp Illustration avec la fonction ln 4 25/09/2014 Exemples de fonctions convexes Fonction carré Exponentielle La fonction dérivée est croissante

m´thode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . e 9.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 FONCTIONS CONVEXES 93 10.1 La notion de convexit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 e 10.2 Fonctions d´rivables convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 e 10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Table des figures 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La droite r´elle . . . . .

Prouver que la droite (RT) est contenue dans le plan (P). UTILISATION DE GEOSPACE : Ouvrir "Nouvelle figure de l'espace". Créer quatre points libres dans l'espace A, B, C et D. Utilisez la touche "bis" ! Puis : Créer – Solide – Polyèdre convexe – Défini par ses sommets : ABCD. On peut appeler t le tétraèdre créé. Ctrl + clic droit de la souris : pour déplacer la figure. Pour tracer en pointillés les arêtes cachées : Cliquer sur l'icône "styles" Choisir Motif O puis cliquer sur R

Si [pic] est vide, le problème n’a pas de solution réalisable. Sinon le problème possède une solution optimale, à moins que Z ne soit pas borné sur [pic]. On distingue les contraintes lâches et saturées. Propositions - [pic] est un polyèdre convexe (par construction). - S’il existe une solution optimale finie, c’est un sommet de [pic]. Forme canonique & standard Transformation d’écriture - [pic] - [pic] - [pic] et [pic] - [pic] Forme standard  Un problème est dit sous

préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente, au voisinage du point de contact, pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe). Le changement de variable h=1x permet, à l'aide d'un DL0 au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL1 au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL2 permet de préciser

Lycée JANSON DE SAILLY 23 novembre 2012 EXERCICE CONTRÔLE N O Tle ES Durée 2 heures 3 ( 1,5 points ) 1 En 2011, le prix moyen d’un lingot d’or d’un kg est de 36 479 C, contre 15 278 C en 2006. Calculer le pourcentage annuel moyen d’évolution du prix du lingot d’or entre 2006 et 2011. EXERCICE ( 1,5 points ) 2 On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives de trois fonctions f , g et h définies sur R. Cf -3 -2 -1 y y 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 1 2 3 x

déterminer le nombre de régions déterminées par ces n droites. 17. * : Inégalité de convexité. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et vérifiant ∀x1 , x2 ∈ I ∀t ∈ [0, 1] f ((1 − t) x1 + tx2 ) (1 − t) f (x1 ) + tf (x2 ) (définition d’une fonction convexe). Montrer par récurrence que pour toute suite de n nombres (t1 , ..., tn ) positifs ou nuls de somme égale à 1 et toute suite (x1 , ..., xn ) de n réels appartenant à I 3 EXERCICES MPSI A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME n f R. FERRÉOL 13/14

son époque : l'astronomie, les sciences physiques et les mathématiques, où il met au premier plan le concept de fonction avec la notation f(x). On lui doit aussi la relation entre les nombres de sommets, d'arêtes et de faces (S-A+F=2) d'un polyèdre convexe (ex : le cube, le tétraèdre...), la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques. Ses travaux ont permis l'essor de l'analyse grâce aux équations différentielles et intégrales. Il aborda également la géométrie différentielle