Épreuve de Bernoulli

lorsque tend vers 2ème condition Loi faible de Grands Nombre Théorème de Bernoulli répétitions Soit de l’événement sur les épreuves élémentaires 23 24 Considérons la variable aléatoire Fréquence de réalisation de l’événement ) où : Caractéristique de : D’après le théorème de Bienaymé-Tchebychev la fréquence relative d’un événement converge en probabilité vers la probabilité de cet événement (Théorème de Bernoulli). 3ème condition Converge (CV) en moyenne quadratique Une suite de

b. On a, d’après l’arbre précédent : 1 1 1 P(A) = P(A ∩ R) + P(A ∩ R) = r + (1 − r ) = (3r + 1 − r ) = (1 + 2r ). 3 3 3 c. On a : PA (R) = P(A ∩ R) 3r r = = 1 . P(A) 1 + 2r 3 (1 + 2r ) 2. a. L’expérience consiste en une répétition de 400 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, où la probabilité de « succès » (c’est-à-dire que l’étudiant ait la bonne réponse) est égale à P(A). La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 400 et p = P(A) = 31 (1 + 2r ). 30, n f 5

annuels mais de proposer simplement des outils susceptibles d’accompagner avec efficacité la préparation des concours. Collection Les mémentos de l’INSEEC 2009 N°13: Les mots de… la Beauté N°14: Méthodologie de la dissertation de CSH N°15: Les épreuves de reformulation aux Concours d’entrée des Ecoles de Commerce : Résumé Contraction - Synthèse N°16 : Méthodologie de la dissertation : Histoire, Géographie et Géopolitique du Monde Contemporain N°17 : Formulaire de Mathématique (voie S) N°18

avec n > 0 et p ∈ [0, 1] : P(X = k) = Cn p (1−p) k Géométrique(p) avec p ∈ [0, 1] : P(X = k) = p(1 − p) pour k ∈ N . k −λ λ Poisson(λ) avec λ > 0 : P(X = k) = e pour k ∈ N. k! Bernoulli(p) avec Lois discrètes usuelles Exercice 1 Exercice 2 Donner l'expression et "tracer" les fonctions de répartitions de loi de Bernoulli de paramètre 2/3 puis de loi géométrique de paramètre 3/4. 1. 2. 3. Rappeler la formule du binôme de Newton. En déduire que la loi binomiale de paramètres

préparatoires au Lycée Madeleine Daniélou à Rueil-Malmaison 1 Sommaire Conseils généraux .................................................................... 4 A.Les années de préparation .............................................. 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre

t+s] ne dépend pas de son "âge" t. La probabilité pour qu'un noyau se désintègre dans l'intervalle de temps [a ; b] est Une épreuve de Bernoulli est une épreuve pouvant donner deux résultats:  le résultat A avec la probabilité p et le résultat A avec la probabilité 1 - p. Un schéma de Bernoulli, est la répétition n fois, de manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli. La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de résultats A obtenus, est appelée loi binomiale de paramètres

p(B) − p(A ∩ B) = 0,02 + 0,01 − 0,000 2 = 0,0298. c. On a E = D d’où p(E ) = 1 − p(D) = 1 − 0,0298 = 0,9702. p(A ∩ B) p(A) × p(B) p(A ∩ B) 0,0002 = = 0,01. (en fait = = d. On a p A (B) = p(A) 0,02 p(A) p(A) p(B)). 2. a. On a manifestement une épreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans défaut, sac défecéfectueux). La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,03. k 100 sacs soient défectueux est : 100 0,03k (1 − 0,03)100−k k b. On sait que la probabilité que

Loi de probabilité de B : évènement probabilité bénéfice : b F∩S 0,874 10 F∩S 0,06 5 reste 0,066 0 (ce qui 3. b. On a E(B) = 0, 874× 10+ 0, 06× 5+ 0, 166× 0 = 8, 74+ 0, 30 = 9, 04 représente le bénéfice moyen par jouet). 4. On a une épreuve de Bernoulli de paramètres n = 10 et de probabilité p(S) = 0, 934. La probabilité cherchée est égale à celle d’avoir 8, 9 ou 10 jouets solides, soit : 10 10 10 0, 9348 ×(1−0, 934)2 + 0, 9349 ×(1−0, 934)1 + 0, 93410 ×(1−0, 934)0 = 8 9 10 0,113521 + 0,356998

candidats présents aux épreuves écrites a progressé un peu en voie scientifique et en « Bac + 3 », diminué de manière inquiétante en Lettres et stagné en voie économique et sociale. Parallèlement, les moyennes obtenues par les candidats à l’oral augmentent significativement en voie scientifique et en « Bac + 3 », restent pratiquement stables en Lettres et régressent légèrement en voie économique et sociale. Ajoutons, pour terminer ce bilan statistique, que les moyennes aux épreuves sportives sont élevées

branches qui conduisent à un gain on obtient : 5 9 1 5 + 9 14 7 1 × + × = = = . p(G) = 10 6 10 6 60 60 30 23 2. On a p G = 1 − p(G) = . 30 1 1 p G∩B ×1 1 30 1 × = . Il faut trouver p G (B) = = 1023 6 = 60 = 23 60 23 46 p G 30 30 3. On a une épreuve de Bernoulli avec n = 4 et p(G) = 2 2 7 . 30 La probabilité de gagner exactement deux fois sur quatre parties est : 4 2 7 30 × 1− 7 30 = 25921 6 × 72 × 232 = ≈ 0, 192(0). 4 30 135000 n 0 4. La probabilité de ne gagner aucune partie sur n jouées