Épreuve de Bernoulli

(vn ). ¤ n→+∞ 2.3.2 Suites géométriques Remarque. Soit x > 0. On a apparemment (1 + x)n = (1 + x)(1 + x) · · · (1 + x) = 1 + nx + · · · . Les termes non écrits sont positifs et donc il semble que (1 + x)n 1 + nx. 19 Lemme (inégalité de Bernoulli). Si x > 0 alors (1 + x)n 1 + nx quel que soit n ∈ N. Preuve. L’inégalité est trivialement vraie pour n = 0. Soit n ∈ N et supposons (1+x)n 1+nx. On a (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx2 = 1 + (n + 1)x + nx2 1 +

et en particulier des compétences terminales, des savoirs et savoir-faire associés. Les modules sont regroupés en unités de formation cohérentes avec les unités de certifications pour garantir la possibilité de se présenter à tout ou partie des épreuves de l’examen et donc d’y être préparé. Des points ECTS (European Credit Transfer System) sont associés aux modules et aux unités de formation. Les unités de formation et des modules ont été construits de façon à leur donner du sens vis-à-vis de

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, J.-P. Logé, S. Moinier, P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbron et A. Warin 2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR Dernière mise à jour : le 26/08/14 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise

aléatoire T1 est le temps d’attente du premier pile ; elle suit la loi géométrique de paramètre p, donc d’espérance 1/p. 2. Notons Xn la variable aléatoire égale à 1 si la partie numéro n amène pile. Les variables Xn sont des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre p. Soit (i1 , . . . , in ) ∈ Nn . L’événement (A1 = i1 , . . . , An = in ) s’écrit aussi : X1 = · · · = Xi1 −1 = 0, Xi1 = 1, Xi1 +1 = · · · = Xi1 +i2 −1 = 0, Xi1 +i2 = 1, . . . , Xi1 +···+in = 1. Donc, en posant

obtenues en répétant cette épreuve de Bernoulli, suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2 : X (10 ; 0 ,2) . Alors les valeurs prises par X sont tous les entiers compris entre 0 et 10 et l’espérance de X est : E [X ] = n × p = 10 × 0,2 = 2 . b. Si l’on note Y le nombre aléatoire compris entre 0 et 1 fournit par la commande Alea(), la loi de probabilité de Y est donc la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ]. 1 a. Le choix d’une meringue est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « La meringue

n→+∞ Correction 2 1 2 , P(U / N ) = et P(U / N ) = . Reprenons les probabilités 3 6 6 1 2 2 1 2 totales : P ( U ) = P(U / N ).P( N ) + P(U / N ).P( N ) = . + . = . 6 3 6 3 9 a. Vrai : On trouve facilement P( N ) = b. Vrai : épreuves indépendantes répétées donc loi binomiale : les paramètres sont n pour le nombre de tirages et p : n * si on choisit un dé normal p =  n 1 1 , on a alors P (tirer 6 n fois)=  pn (1 − p)0 =   ; 6 6  n n * si on choisit

n résultat en binaire ? 2.20. Montrer que 2n 0, k=0 2k = 2n+1 − 1. Quelle est la traduction évidente de ce n2 à partir d’un rang qu’on déterminera. 1 + nx pour tout n ∈ N (inégalité de 2.21. Soit x > −1 un réel. Montrer que (1 + x)n Bernoulli). 2.22. Soit (un ) la suite définie par u0 = 1 et un+1 = un + 2n + 3. Conjecturer puis prouver l’expression de son terme général un en fonction de n. n n 2 2.23. Montrer que k=1 k3 = k=1 k . Étude de suites récurrentes 2.24.

... 62 II.b. Conditions d’obtention de dispenses d’unités ................................................. 69 II.c. Règlement d'examen ..................................................................................... 70 II.d. Définition des épreuves ponctuelles et des situations d'évaluation en cours de formation ...................................................................…..………..71 ANNEXE III : ORGANISATION DE LA FORMATION III.a. Grille horaire de la formation....................

une quantité d’au moins εn est n N = 2 · 2n m=( 1 +ε)n 2 1 b(n,m, ) 2 (14.11) où b(n,m,p) est la probabilité de m succès sur n épreuves d’un processus de Bernoulli (p,1−p) : la distribution binomiale. Une estimation générale de la probabilité de déviation dans la distribution binomiale, où m est le nombre de résultats favorables de n épreuves dont la probabilité de succès est p, 0 < p < 1, et q = 1 − p, est fournie par la majoration de Chernoff, [2, 4], Pr(|m − np| ≥ εn) ≤ 2e−(εn)

.................................................. 3.2 Les chemin des épreuves.......................................................... 3.2.1 Première épreuve: accepter le monde tel qu’il est............................... 3.2.2 Deuxième épreuve: écouter la voix intérieure................................... 3.2.3 Troisième épreuve: le souvenir de Govinda..................................... 3.2.4 Quatrième épreuve: passer sur l’autre rive et couper avec son père.......... 34 34 34