Épreuve de Bernoulli

par X? 2. Déterminer la loi de probabilité de X. 3. Calculer l'espérance mathématique de X. Si vous deviez gagner à ce jeu, préféreriez-vous être A ou B ? Mathématiques Terminale ES – V06/09 – page 59 © Complétude 2009/2010 Expérience de Bernoulli et loi binomiale EXERCICE 6.9 (CORRIGE) Sur une route, deux carrefours A et B sont munis de feux tricolores. On suppose que ces feux ne sont pas synchronisés et que, pour un automobiliste circulant sur cette route, l’apparition d’une couleur donnée

alors X a une loi bernoullienne de param`etre p = 18/(18 + 12) = 0.6. 5.4.3 Variable binomiale La variable al´eatoire binomiale de param`etres n et p correspond `a l’exp´erience suivante. On renouvelle n fois de mani`ere ind´ependante une ´epreuve de Bernoulli de param`etre p, o` u p est la probabilit´e de succ`es pour une exp´erience ´el´ementaire. Ensuite, on note X le nombre de succ`es obtenus. Le nombre de succ`es est une variable al´eatoire prenant des valeurs enti`eres de 0 `a n et ayant une

Britain A brief history of ecology in the USA A brief history of space in Britain A brief history of space in the USA A brief history of computer science A brief history of genetics 214 218 219 222 223 224 225 226 228 vi Introduction Les épreuves d'anglais des concours d'entrée aux grandes écoles sont relativement variées en termes de format et de contenu si l'on considère l'ensemble des sections scientifiques. Il convient donc à chaque étudiant en classe préparatoire de bien cibler les exigences

alors X a une loi bernoullienne de param`etre p = 18/(18 + 12) = 0.6. 5.4.3 Variable binomiale La variable al´eatoire binomiale de param`etres n et p correspond `a l’exp´erience suivante. On renouvelle n fois de mani`ere ind´ependante une ´epreuve de Bernoulli de param`etre p, o` u p est la probabilit´e de succ`es pour une exp´erience ´el´ementaire. Ensuite, on note X le nombre de succ`es obtenus. Le nombre de succ`es est une variable al´eatoire prenant des valeurs enti`eres de 0 `a n et ayant une

11 5,11 valeur de n est égale à 12. Exercice 11 Le candidat répète 10 fois la même épreuve à 2 issues possibles : 1 S « le candidat répond correctement à la question posée »  ; P (S ) = p = 3 puisque le candidat répond au hasard. 2 S « le candidat répond mal » ; P (S ) = 1− P (S ) = 1− p = . 3 Les réponses à chaque question sont indépendantes. On est donc en présence d’une suite de 10 épreuves de Bernoulli. Soit X le nombre de réponses exactes. X suit la loi binomiale de paramètres 10 1 et .

obtenue avec les rectangles (du 46e à 60e à partir de la gauche) vaut 0,84. b)  0  Xn  100, donc – 1 a)  On peut modéliser chaque partie comme une 1  épreuve de Bernoulli. On appelle succès un lancer où le numéro 2 ou 4 est apparu. Il y a une répétition de 5 épreuves identiques et indépendantes. L’expérience décrite est bien un schéma de Bernoulli. La variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre de lancers où le numéro 2 ou 4 est apparu, suit la loi binomiale

que, u ne s’annulant pas, on peut considérer le quotient n . n un +1 Alors, pour n ≥ 1, n +1 n !× (n + 1) × (n + 1) u (n + 1) =  1+ 1 n ! (n + 1) = = on a n = n ×  n  un +1 n (n + 1)! n n × n !× × (n + 1) nn n 1 appliquant l’inégalité de Bernoulli avec x = , on a n un ≥ 2. pour n ≥ 1, un +1 n n or, en n  1 1  1+ n  ≥ 1+ n × n d’où 1 Démontrons par récurrence que pour tout n ≥ 1, un ≤ n −1 . 2 1 1 = 1 donc la proposition « un ≤ » est vraie pour n = 1. On a u1 = 1 et 21−1 2n −1 uk

Cousin s'était servi pour son édition des feuilles déjà imprimées qui lui furent communiquées par Ampère. « Les épreuves, dit Ernest Naville, qui subsistent en partie vont plus loin que les feuilles tirées et la rédaction préparée en vue de l'impression qui se trouve dans les manuscrits va plus loin que les épreuves [19]. » Nous n’avons pu retrouver aucune trace des épreuves ; quant à la rédaction, il en subsiste à peu près le tiers, en fragments divers. Elle est composée de feuilles doubles

explication intéressante dans l’hypothèse ordalique formulée par M. Valleur et AJ. Charles-Nicolas (1991) ; ces derniers voient une démarche magique de passage et de renaissance dans la conduite qui consiste à s’engager de façon récurrente dans des épreuves à risque, à l’issue imprévisible, en s’en remettant à l’Autre – le hasard, le destin, la chance –, pour le maîtriser et ainsi affirmer son droit à la vie, établir sa singularité, voire tester son immortalité. Le phénomène du jeu-passion a-t-il touché

intellectuel dont elle procède et que celui-ci soit clairement énoncé, transparent et livré à la critique. L'art de la conjecture ainsi défini n'est donc pas une simple « évaluation des probabilités des choses » au sens de YArs conjectandi de Jacques Bernoulli (Bâle, 1713), mais une démarche intellectuelle créa41 CONJECTURE DES INSTITUTIONS POLITIQUES trice, se situant en dehors de la notion de prescience comme de celle de connaissance scientifique — dont paraissent implicitement chargés certains