Épreuve de Bernoulli

F (Ω) = { } k , k entier entre 0 et 100 . 100 1 Étant donné que la probabilité d’apparition du 1 est , on 4 25 est la valeur de F la plus probable. peut conjecturer que 100 b) X indique le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre 100 et de paramètre 0,25 ; donc, la loi de X est la loi binomiale (100 ; 0,25). Donc : E(X) = 100 × 0,25 = 25 et V(X) = 100 × 0,25 × 0,75 = 5 3 . 2 1 1 c) F = X, donc E(F) = E(X) = 0,25 100 100 1 75 3 et V(F) = . V(X)

0, 03 P(T ∩ A) = ≈ 0, 12 et 0, 12 = 0, 25. Cette affirmation est donc fausse. P(A) 0, 255 4. Nous sommes dans le cas d’une expérience de Bernoulli (Les fruits sont abimés ou non). Nous répétons cette expérience de manière indépendante avec remise (en effet chaque fruit ne dépend pas du précédent, bien que ...), nous sommes dans le cas d’un schéma de Bernoulli. Comme X est une variable aléatoire comptant le nombre de fruits abimés nous pouvons assimiler cette loi à une loi binomiale : X = B(n, p)

répète n fois une même expérience de Bernoulli ayant une probabilité de succès p, les expériences étant indépendantes entre elles On s’intéresse au nombre de succès k, On dit que X suit alors une loi binomiale de paramètres n et p. Caractéristiques de la distribution binomiale k P ( X = k ) = Cn p k q n − k = n! k !( n − k )! p k q n−k E ( X ) = np V ( X ) = np (1 − p ) L’espérance et la variance correspondent à celles de la somme de n tirages de Bernoulli indépendants de paramètre p Distribution

QCM . sur 5 points Donne sans justification la bonne réponse. Une seule par question. Sur la copie, on indiquera le numéro de la question et on recopiera la bonne réponse. 1) Les situations suivantes sont elles obtenues à partir d'un schéma de Bernoulli ? On lance un dé 3 fois de suite et on note à chaque fois le numéro obtenue On lance un dé 3 fois de suite et on note à chaque fois si on obtient 6 Dans une urne comportant 2 boules rouges, 3 noires et 5 vertes on tire successivement et avec remise

p( 74,4 < L < 75,6) = normalFrep( 74,4 , 75,6 , 75, 0,25 ) = 0,9836..= 0,984 à 10 -3 près 2. On doit avoir h= 2 car c’est un résultat du cours ( p(  – 2 < X <  + 2) = 0,95) donc h = 2x0,25 = 0,5 Partie B . 1. Il s’agit d’une expérience de Bernoulli (succès p = 0,02 échec q= 0,98) répétée n = 20 fois dans les mêmes conditions et de façon indépendante, donc le nombre X de succès suit une loi binomiale B(n,p) = B(20 , 0,02) 2. On a alors p(X= 0) = binomFdp( n, p, k) = binomFdp(20 , 0,02 , 0)

: Questions de cours 1/ Formule des probabilités composées 2/ Formule de Bayes 3/ Formule des probabilités totales 4/ Formule de Bienaymé-Tchebychev 5/ Théorème de transfert 6/ Loi uniforme : formule, espérance, variance et écart-type 7/ Loi de Bernoulli : formule, espérance, variance et écart-type 8/ Loi binomiale : formule, espérance, variance et écart-type Exercice 1 On considère l’expérience aléatoire qui consiste à tirer 5 cartes dans un jeu non truqué de 32 cartes. Dénombrer le nombre de tirages

que ( ) p ( X > 5 ) = 0, 4 . a. On considère un lot de 10 ordinateurs. Probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans : D’après les hypothèses faites, on est en présence d’un schéma de Bernoulli de paramètres n = 10 et p = 0,4 ; Soit alors Y la variable aléatoire égale au nombre d’ordinateurs qui auront une durée de vie supérieure  10  à 5 ans (sur les 10 choisis) ; Y suit la loi binomiale B(10 ; 0,4) et p ( Y = k ) =   × 0, 4k × 0,

EXERCICE 1 : 1)a) 2001 correspond au rang 1 donc 2012 sera le rang 12. X=12, y=-2,89x12+102,59= 67,91. b) Taux= ((67,91-84)/84)x100= -19,15% . Ce qui correspond à une baisse de 19,15%. 2)a) Xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Zi=lnyi | 4,608 | 4,594 | 4,517 | 4,494 | 4,494 | 4,447 | 4,431 | 4,381 | 4,331 | b) Par la méthode des moindres carrées avec la calculatrice : a=-0,03276…et b=4,63894…. Donc z=-0,0328x+4,6389. c)D’après b) on a : lny= -0,0328x+4,6389 c'est-à-dire y=e-0

Universitaire  : 2022 – 2023 PlanI- Epreuve de BernoulliII- Processus ou distribution de BERNOULLIIII- Distribution binomiale ou loi binomialeIV- Approximation d’une distribution binomiale par une distribution a) Hypergéométriqueb) Poissonc) NormaleV- Distribution de Pascal ou Binomiale négativeVI- ExercicesVII- RéponseLOI BINOMIALE I- Epreuve de Bernoulli On appelle épreuve de Bernoulli, une expérience aléatoire dont l’ensemble fondamentale

Fiche d’exercices sur la loi binomiale Exercice 1 : Correction : X désigne le nombre d’élèves possédant un smartphone. Une épreuve de Bernoulli à deux issues : « l’élève possède un smartphone » de probabilité p = 0,2 et « l’élève ne possède pas un smartphone » est répétée 3 fois de manière identique et indépendante. X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,2. En utilisant la calculatrice, dans le menu probabilité, loi binomiale, et en saisissant n = 3 et p = 0,2