Épreuve de Bernoulli

Introduction…………………………………………………………………………….…4 2. Lois discrètes……………………………………………………………………………..4 2.1. Loi uniforme…………………………………………………………………………………………..4 2.1.1. Définition……………………………………………………………………………..….4 2.1.2. Espérance et variance…………………………………………………………..5 2.2. Loi de Bernoulli……………………………………………………………………………………..5 2.2.1. Définition………………………………………………………………………………...5 2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition……………………………………………………………………………

binomiale Définition • On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles (contraires l’une de l’autre). • On appelle schéma de Bernoulli toute répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Exemple : Lancer un dé avec pour issues contraires « obtenir un 6 » et « ne pas obtenir un 6 » est une épreuve de Bernoulli. Lancer le dé 10 fois est un schéma de Bernoulli (on répète l’épreuve de Bernoulli) . Par contre, si on s’intéresse

Chapitre 2 – Introduction à la théorie des probabilités Il s’agira de modéliser les expériences aléatoires grâce au processus de Bernoulli, de Poisson et Gaussien. I – Expérience, évènements et probabilités A – Vocabulaire et typologie des évènements  Evènements élémentaires Ce sont les différentes issues possibles associées à l’évènement aléatoire. Pour un lancer de dés, l’univers est Ω=(1,2,3,4,5,6) Evènement composés ils se réalisent avec la réalisation de plusieurs évènements élémentaires

DM de maths complémentaires.Les lois géométriques & leur utilité. Définition : Soit une épreuve de Bernoulli (c’est-à-dire qui a deux solutions : le succès S et l’échec S/) ayant p pour paramètre (la probabilité que le succès se réalise) et X une variable aléatoire désignant le nombre d’essai de l’épreuve avant d’obtenir le succès. X adopte alors des valeurs non-nulles puisque le succès ne peut pas arriver si l’épreuve n’est pas réalisée(X=0) ; la

probabilités DÉFINITION • On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles (contraires l’une de l’autre). • On appelle schéma de Bernoulli toute répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Exemples : • Lancer une pièce avec pour issues contraires «pile» et «face» est une épreuve de Bernoulli. Lancer notre pièce 10 fois est un schéma de Bernoulli (on répète l’épreuve de Bernoulli) . • Jouer au Loto en s’intéressant aux événements

de mesures de Dirac. 1.2. Lois de Bernoulli D´ efinition 2. — Soit p È Ö0, 1×. On appelle loi de Bernoulli de param`etre p la loi de probabilit´e discr`ete µ de support Ø0, 1Ù v´erifiant µ Ø0 Ù 1¡p et µ Ø1 Ù p. 2 Soit µ Lois de probabilit´ e usuelles Ô1 ¡ pÕδØ0Ù   pδØ1Ù . Cette mesure est identifi´ee par la notation BÔ1, pÕ. Fonction de r´ epartition Loi de Bernoulli 1 1 p 1−p 1−p 0 0 0 1 0 1 Une variable al´eatoire X de loi la loi de Bernoulli de param`etre p È Ö0, 1× est presque

réciproque fausse. Espérance conditionnelle : EY=yi(X) = ∑ xi*PY=yi(X=xi) Variance conditionnelle : VarY=yi(X) = E((Y=yi(X))2) – (EY=yi(X))2 3) Loi de Bernoulli : X~B(1 ; p) , X suit la loi de Bernoulli avec p, probabilité de réussite et q la probabilité d’échec (q=1-p). E(X)=p Var(X)=p*q Loi binomiale : Répétition d’une même épreuve, indépendante et avec une même chance de succès. X~B(n ; p) : X suit la loi Binomiale avec p, la probabilité de réussite et n le nombre de répétitions de l’épreuve

concept de probabilité, en recherchant la meilleure. En revanche l'étude historique de sa mise en oeuvre et de ses problématiques nous paraît riche d'enseignements. En ce qui concerne la "loi des grands nombres", depuis son énoncé initial par Jacques Bernoulli jusqu'à la résolution du problème limite classique par Kolmogorov, le travail des probabilistes consiste à chercher à comprendre l'énoncé, à le préciser, à en évaluer la portée, à tenter de simplifier la démonstration. Du point de vue de l'histoire

variance = 1 Variable aléatoire continue : peut prendre toute les valeurs dans un intervalle donné b) Lois de probas La loi de Bernoulli On appelle v. de Bernoulli ou variable indicatrice. Notée B(1,p) E(X) = p ; V(X) = pq Loi Binomiale On appelle variable Binomiale une v.a X correspondant au nombre de succès de la répétition indépendante de n épreuves de Bernoulli : Loi de proba : Elle est appelée loi Binomiale, notée B(n,p) E(X) = np et V(X)= npq Si X et Y sont 2 v.a indépendantes suivant

probabilités de chaque résultat.  II – Loi de Bernoulli de paramètre p Définition 2: On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire ayant 2 issues : succès avec une probabilité égale à p et échec.  Définition 3: On appelle variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p la variable aléatoire X qui associe la valeur 1 à un succès avec la probabilité p et la valeur 0 à un échec avec la probabilité 1 – p.  Définition 4: On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité