Épreuve de Bernoulli

| Cette série statistique admet deux modes : 1850 € et 2050 €.Cas particulier Si la série est répartie en classes, on appelle classe modale de la série statistique, une classe dont l’effectif associé est le plus grand.Exemple : A l’occasion d’une épreuve de saut en hauteur, on a indiqué les résultats des athlètes dans le tableau suivant : Hauteur (cm) | [180 ; 185[ | [185 ; 190[ | [190 ;195[ | [195 ; 200[ | Effectif | 7 | 9 | 5 | 3 | La classe modale est

génératrice des moments F. Indicateurs de forme G. Quantiles 165 V. Convergence des variables aléatoires réelles Testez-vous Exercices 6. Les principaux modèles statistiques discrets I. Les modèles élémentaires A. Le schéma de Bernoulli B. La loi uniforme discrète Les schémas de Bernoulli itératifs A. Le schéma binomial B. Le schéma hypergéométrique C. La loi géométrique et la loi de Pascal La loi de Poisson A. Définitions et propriétés B. Abord statistique C. Abord probabiliste II. III. Exercices

prélève au hasard successivement trois bulbes de ce stock. Quelle est la probabilité qu'au moins un des trois bulbes choisis germe ? Prélever trois bulbes choisis au hasard et indépendamment les uns des autres, est la répétition de trois épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de bulbes qui germent est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,83. L'évènement "au moins un des trois bulbes choisis germe " est l'évènement contraire de l'évènement

lorsque celles-ci Andrei Andreeivich Markov Jacques Bernoulli étaient connues. Ainsi, dans le cas d'un dé, au bout d'un (Ryazan, 14/6/1856 (Bâle, 27/12/1654 grand nombre de tirages, chaque face était obtenue St-Pétersbourg, 20/7/1922) Bâle, 16/8/1705) environ une fois sur six. Cette observation empirique pouvait-elle recevoir un fondement théorique ? Le premier à se poser la question est le bâlois Jacques Bernoulli, fils de Nicolas Bernoulli, premier membre d'une longue dynastie de mathématiciens

Cp = n Formules : Ap n p! n avec C n − p = C p et C p = C p −1 + C p −1 (Triangle de Pascal) n n n n −1 n ( a + b) n = ∑C p=0 Schéma de Bernoulli : On l'applique lorsqu'on répète des épreuves dont les résultats sont indépendants des épreuves précédentes :  p = probabilité de A  où k = Nbre de réalisations  n = Nbre d ' épreuves  k Cn . p k . (1 − p ) ¡           Equiprobabilité : Lorsque tous les p( e i ) sont égaux. Dans ce cas, si CardE = n, p( e i ) =

165 V. Convergence des variables aléatoires réelles 155 156 162 163 164 166 Testez-vous 172 Exercices 176 6. Les principaux modèles statistiques discrets 179 I. Les modèles élémentaires A. Le schéma de Bernoulli B. La loi uniforme discrète 181 181 183 II. Les schémas de Bernoulli itératifs A. Le schéma binomial B. Le schéma hypergéométrique C. La loi géométrique et la loi de Pascal 184 185 191 193 III. La loi de Poisson A. Définitions et propriétés B. Abord statistique C. Abord probabiliste

probabilités, se modélisent par une double partition. Démontrer que la connaissance de 3 probabilités parmi les suivantes permet de déterminer toutes les autres : P(A), P(B), PA(B), ( )AP B , PB(A), ( )BP A Exercice 8 Loi hypergéométrique, loi de Bernoulli, loi binomiale 1. Une grande enveloppe contient les douze "figures" d'un jeu de carte : les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. On tire, simultanément et au hasard, cinq cartes de l'enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui, à

(1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles (4) TCL (5) Statistiques (6) Lois de probabilité usuelles La loi de Bernoulli. C’est la plus simple des lois de probabilité. Une variable aléatoire X est dite de Bernoulli si X (Ω) = {0, 1}. On note p := P(X = 1); q = 1 − p = P(X = 0). L’espérance d’une variable de Bernoulli est E(X ) = p. La variance est V(X ) = pq = p(1 − p) et l’écart type est √ σ(X ) = pq. Exemple. Le jeu de pile ou face (non truqué, p = 0.5, truqué

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Tirage exhaustif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Tirage de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Comparaison des 2 modes de tirage, exhaustif et avec remise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Généralisation

: — probabilité pour que les deux boules soient blanches, — probabilité pour que les deux boules soient de même couleur, — probabilité pour que l'une au moins des boules tirées soit blanche. SOLUTION. A. Tirage avec remise. Dans ce cas, les épreuves sont indépendantes et les probabilités sont les mêmes dans les deux tirages successifs. Dans un tirage, la probabilité d'une boule blanche est égale au nombre de cas favorables (6), divisé par le nombre de cas possibles (10), c'est donc 0,6. 1