Épreuve de Bernoulli

X ( u ) = i u E ( X ) – -- Var ( X ) u 2 + ( u 2 ) , u 2 Ce type de variable correspond à une épreuve de Bernoulli où seules deux éventualités sont possibles, que l’on appelle souvent succès et échec ; on associe au succès la valeur 1 et à l’échec la valeur 0, avec une probabilité de succès égale à p. 2.5.1.2 Modèle de Bernoulli Il s’agit d’une suite indépendante ( X n ) n 1 d’épreuves de Bernoulli de même paramètre p. Nous avons construit au paragraphe 1.3.2.3 un espace ( Ω , , P ) sur lequel

Page 9 (a) Comme la variable X représente le nombre de fois, au cours de 125 jours, où la personne attend plus de quatre unités de temps, nous pouvons dire que X "surveille" le nombre de succès obtenus au cours d’une succession de 125 épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre P ([T > 4]) . Ainsi : µ ¶ 1 X → B 125, 25 (b) D’après le cours : E (X) = 125 = 5 et V (X) = 25 µ 125 24 × 25 25 ¶ = 24 5 (a) Tout d’abord remarquons que Y (Ω) = N∗ . Notons

..............................................................................................12 CHAPITRE 3 : LOIS USUELLES.............................................................................................................13 I- Loi de Bernoulli :.............................................................................................................................13 IILoi binomiale :...................................................................................................

49¢ = 0,06 ⇔ p µ Z 6 − 1 σ′ ¶ = 0,06 On doit donc avoir − 1 σ′ = −1,555 ⇔ σ ′ = 1 1,555 ≈ 0,643 La valeur attendue de σ ′ est donc 0,643. 3. a. Ici, l’épreuve de Bernoulli consiste à tester si un pot est non conforme considéré comme succès de probabilité 0,06,... ou pas. On répète 50 fois cette épreuve. Y suit donc la loi binomiale de paramètres 50 et 0,06. b. On calcule p(Y 6 2) avec la calculatrice. La probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux

présenter au péage de ce tronçon d’autoroute » est une épreuve de Bernoulli. En effet, pour chaque véhicule, il y a deux issues possibles, succès ou échec, le succès A : « être un abonné » ayant une probabilité p égale à 0,28. De plus, dix véhicules arrivent au péage indépendamment les uns des autres, ceci revient à répéter dix fois de façon identique et indépendante l’épreuve de Bernoulli précédente : on a ainsi un schéma de Bernoulli Soit X le nombre de véhicules dont le conducteur a

est privilégiée : il s’agit ici d’installer une représentation mentale efficace. On peut ainsi : faciliter la découverte de la loi binomiale pour des petites valeurs de n ( n 4 ) ; introduire le coefficient binomial Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. Schéma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre de succès). Coefficients binomiaux, triangle de Pascal. Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale. Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale. n comme

est form´ee d’´ev`enements mutuellement ind´ependants. Souvent dans la suite nous parlerons d’une suite ind´ependante d’´epreuves. Intuitivement, il est clair de quoi il s’agit ; formellement on a : D´ efinition 3.2.4 On dit qu’une suite infinie d’´epreuves est ind´ependante si toute suite (Ai )i≥1 form´ee d’´ev`enements Ai dont la r´ealisation ne d´epend que de la i`eme ´epreuve forme une suite ind´ependante d’´ev`enements. 30 Chapitre 3. c JCB – L2 IMAE – Universit´e de La Rochelle Chapitre

dé nit les loi marginales de X et Y par : PX (x) = P (X = x) et PY (y) = P (Y = y) : Exemple : on considère une population d'ordinateurs et les deux variables aléatoires X et Y dé nies ainsi : X est une variable X = 1 si l'ordinateur est neuf de bernoulli de paramètree 0:50 dé nie par et Y désigne le nombre de pannes sur une année X = 0 si l'ordinateur est vieux suivant la distribution jointe suivante : Y 0 1 2 3 4 X Donner P (Y = 2) ; P (X = 1) ; P (1; 2) ; on dé nit la distribution con0 0:35 0:065

. . . . . . . 2.1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Quelques exemples . . . . . . . . . 2.2 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Ind´ependance de deux ´ev´enements 2.2.2 Ind´ependance mutuelle . . . . . . . ´ 2.2.3 Epreuves r´ep´et´ees . . . . . . . . . . 2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

philosophiques et de part l’émergence de philosophes et écrivains comme Diderot Voltaire Montesquieu Rousseau et autre Beaumarchais la publication de l’encyclopédie mais pas uniquement philosophique mais aussi des découvertes scientifiques comme Bernoulli LaGrange Laplace précurseurs d’une meilleure compréhension de la physique des mathématique et autres Cavendish et Lavoisier pour la chimie c’est l’avènement d’une pensée moderne d’une ouverture d’esprit qui s’oppose a l’obscurantisme précédent. Une