Équation aux dérivées partielles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Les polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Les polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Polynômes orthogonaux et équations différentielles . . . . . . . . . . . . . 107 Fonctions harmoniques et polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 109 III Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 III.1 III.2 III.3 Le

américaines et options européennes . . 6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 28 30 32 32 33 34 35 . . . . . . 39 39 41 42 44 45 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mouvement brownien et équations différentielles stochastiques 1 Généralités sur les processus à temps continu . . . . . . . . 2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Intégrale stochastique et

Résolution pratique des équations aux dérivées partielles David Manceau 2 TABLE DES MATIÈRES 3 Table des matières Introduction 7 1 Exemples classiques d’e.d.p. 1.1 Modélisation, mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Mouvement d’un fluide irrotationnel et incompressible . 1.1.3 Trafic routier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Classification

scientifiques est donc de montrer que des mouvements bien choisis et suffisamment vigoureux d’un fluide conducteur de l’électricité peuvent engendrer spontanément un champ magnétique au-delà d’un certain seuil. Bien que les équations régissant ce phénomène soient connues (équations de Maxwell et de Navier Stokes (2), loi d’Ohm), les simulations numériques ne permettent pas encore de reproduire sans approximation les conditions des milieux naturels, les fluides y étant en particulier très turbulents

exercice 1 Résoudre dans les équations suivantes : ------------------------------------------------- exercice 2 Mise en équation Le prix d'un article est de 180 €. Ce prix subit une majoration au taux de 25% puis une minoration à un taux inconnu, t%, sur le prix majoré. Calculer t sachant que le prix de l'article est à nouveau 180 €. ------------------------------------------------- exercice 1 Cette équation est définie sur . D'où : = {-2} Cette équation est définie sur . Si

l’économie et la gestion thèmes abordés o Prérequis - Calcul algébrique - Dérivée d’une fonction d’une variable o Fonctions exponentielles et logarithmes - Propriétés - Dérivée o Matrices - Somme et produit de matrices - Déterminant d’une matrice carrée - Inversion d’une matrice carrée inversible ( 2 méthodes : matrice adjointe et matrice compagnon ) - Écriture matricielle d’un système linéaire o Équations linéaires Systèmes d’équations linéaires - Résolution d’un système linéaire

L’application f ! df est linéaire et suit la règle de composition : d (gof ) (a) = dg (f (a)) odfa Dérivée directionnelle Si f est di¤érentiable en a; alors f possède des dérivées suivant tout vecteur et dh f (a) = dfa (h);c’est à dire: ff est di¤érentiable en a ) f (a + th) t!0 t 8h 2 E; dh f (a) = lim f (a + t) t!0 t f (a) Si E = R, on a d1 f (a) = f 0 (a) = lim f (a) = dfa (h) = dfa (1): Di¤érentielles partielles On se donne E = E 1 ::: En où E1 ; :::; En sont des espaces vectoriels normés , F un n

d’une fonction . . . . . 1.3.1 Limite d’une fonction en un point . . 1.3.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Dérivées partielles et fonctions de classe C 1 1.5 Notion de différentielle . . . . . . . . . . . . 1.6 Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Cas des fonctions numériques . . . . 1.6.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . 1.8 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Extrema locaux . . . . . . . . . .

2 Dérivées et dérivées partielles 2.1 Dénition de la dérivée dans le cas d'une variable 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . Contre-exemples de fonctions dérivables en un point . . . . . . . . . . Dérivée de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 32 33 Dénition des dérivées partielles dans le cas de fonctions de deux variables Sens de variation, dérivée seconde et convexité pour les fonctions d'une variable 37 Dérivées partielles

ANNEXE : Rappels sur les notions de dérivée et différentielle 1. Pente d’une droite Examinons géométriquement les droites dans le plan cartésien. La principale caractéristique qui distingue une droite d’une autre est son inclinaison, que nous appelons coefficient directeur ou pente de la droite. Un moyen naturel de mesurer la pente d’une droite est de partir de n’importe quel point ( x0 , y 0 ) et de se déplacer le long de la droite de sorte que la coordonnée de x s’accroisse d’une unité. La variation