Équation cartésienne

seule réponse est correcte ; noter sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la bonne réponse. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i, j) . 1) La parabole de foyer F(2,0) et de directrice D : x = -2 a pour équation : a) y2  4x ; b) x2  8y ; c) y2  8x 2) Soit V le volume du solide obtenu par révolution autour de l’axe (Ox) du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe d’équation y  R2  x2 sur  R,R R 0 .Alors : a) V = R 2

1S4 Devoir maison n°2 de Mathématiques (à rendre le lundi 2 novembre ; aucun retard ne sera toléré !) La fonction cosinus : On considère la fonction f définie par f ( x ) = cos x et on appelle c sa courbe   représentative dans un repère orthogonal O ; i ; j . ( Unités : 1cm pour π 4 en abscisses et 1cm pour ) 1 en ordonnée. 4 1°) a) Donner l’ensemble de définition de la fonction f qu’on notera D f . b) ∀x ∈ D f , exprimer f ( x + 2π ) , puis f ( − x ) en fonction de f ( x ) . c) En s’aidant

PTSI Devoir libre N◦5 Pour le 15 Novembre 2011 On se place dans le plan P rapporté à un repère orthonormé direct (O, i , j ). Pour tout réel m, on considère la droite Dm : (1 − m2 )x + 2my + (m2 − 2m − 3) = 0. 1◦ ) Justier que pour tout réel m, Dm est bien une droite du plan. Préciser un vecteur directeur de cette droite. 2◦ ) Existe-t-il un point commun à toutes les droites Dm ? 3◦ ) Déterminer l'ensemble E des points M du plan par lesquels passe au moins une droite Dm . On représentera cet

Distance entre deux points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) :  On retiendra: A(x ;y ;z ) ; B(x ;y ;z ) ; AB (x -x ;y -y ;z -z ) ; AB = AB = A A A B B B B A B A B A 4) Equation cartésienne d’une sphère de E : a) Déterminer une équation cartésienne de la sphère de centre (;; ) et de rayon r ( r  0;+) b) Déterminer une équation cartésienne de la sphère de diamètre AB (avec: A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) ) c) Remarques: i) Quelle condition et quel nombre de points faut-il pour définir l’unique sphère

c’est ce qu’on appelle une représentation paramétrique de la droite D :  x = xA + λa M (x; y) ∈ D ⇐⇒ ∃λ ∈ R y = y + λb A → en notant a et b les coordonnées de − u. 2.2 Équations cartésiennes Il existe une autre façon de représenter une droite, par une équation cartésienne, généralisant les équations y = ax + b. 4 Vecteurs de R2 ou de R3 Théorème I.2 Si (u, v, w) sont trois réels tels que (u, v) = (0, 0), alors l’ensemble des points M (x; y) tels que ux + vy + w =

E est le milieu du segment [BC ]. −→ − − → 1. Montrer que AD et BC sont colinéaires. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABC D ? 2. Montrer que AB E D est un parallélogramme. 3. Déterminer si O appartient à la droite (AE ). 2. Équations de droites Exercice 4. Soit (d ) la droite d’équation 2x − 3y + 7 = 0. 13 1 5 et C 3 ; appartiennent-ils à (d ) ? ; 1. Les points A(−2 ; 1), B 3 2 3 2 2. Trouver l’ordonnée du point E de (d ) d’abscisse − . 7 1 3. Trouver l’abscisse

I) Équations de droites ( on se place dans le plan muni d'un repère orthonormé) Définition : On appelle vecteur normal à une droite d tout vecteur ⃗ n ≠⃗ 0 orthogonal à un vecteur directeur de d. n . Corollaire : Soit d la droite passant par un point A et de vecteur normal ⃗ ⃗ Alors d est l'ensemble des points M tels que AM .⃗ n =0 n (a ; b) a une équation cartésienne de la forme a x + b y + c = 0. Propriété : Une droite d de vecteur normal ⃗ Réciproque : La droite d d'équation a x + b y + c = 0

deux points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) :   On retiendra: A(x ;y ;z ) ; B(x ;y ;z ) ; A B (x -x ;y -y ;z -z ) ; AB = AB = A A A B B B B A B A B A 4) Equation cartésienne d’une sphère de E : a) Déterminer une équation cartésienne de la sphère de centre (;; ) et de rayon r ( r  0;+) b) Déterminer une équation cartésienne de la sphère de diamètre AB (avec: A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) ) c) Remarques: i) Quelle condition et quel nombre de points faut-il pour définir l’unique sphère

PORTEUR CARTESIEN : 1.1 Robot 4 ddl : la structure est composé de porteur cartésien + un poignet de 1ddl. 1.1.1 Schéma cinématique: fig.1 robot cartésien de 4 ddl 1.1.2 Calcul du MGI : Les paramètres de Denavit- Hartenberg modifiée : | α j-1 | d j-1 | θ j | r j | art 1 | 0 | 0 | π /2 | r1 | art 2 | π /2 | 0 | π /2 | r2 | art 3 | π /2 | 0 | π /2 | r3 | art 4 | π /2 | 0 | q 4 | 0 | Tableau 1 . Les matrices de transformations : Equation :

POLY BTS DESIGN PRODUIT-ESPACE 1 SOMMAIRE 1. Calcul d’aires et volumes …………………………………………………...... 3 2. Fractions, puissances, racines carrées, équations …………………………....9 3. Droites dans le plan …………………………………………………...............23 4. Vecteurs dans le plan ………………………………………………........…...28 5. Relations dans le triangle – Pythagore – Thalès ………………………....….34 6. Fonctions polynômes et homographiques ……………….…………….....….42 7. Fonction logarithme et exponentielle …………………………………...……56 8