Équation cubique

découpe dans le rectangle ABCD un carré ABOR. 1 Exprimer (en fonction de x) le format f' du rectangle ORDC. A R D B O C Quelle valeur donner à x pour que les rectangles ABCD et ORDC aient le même format ? [On se ramènera à une équation du second degré] c) On note  cette valeur. Déterminer  – 1 ;  ( – 1) et 1 . Que remarque-t-on ?  1S1 Exercice DM2 pour le samedi 8 octobre 2011 On appelle format f d'un rectangle le quotient de la longueur L par la largeur

des pointsd'affixetels quesoit réel d) Déterminer l'ensemble des pointsd'affixetels quesoit imaginaire pur 5. Racines d'un nombre complexe 5.1. Racine carrée Résoudre dans,où Cette équation a toujours deux solutions complexes 1. Est-ce que l'on voit les solutions ? Exemple : On voit que Donc 2. Sinon, est-ce que l'on trouve facilement l'écriture exponentielle de? Exemple : On voit que Donc 3. Sinon, la méthode

S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D’UN POLYNOME MESURANT LES COTES D’UN TRIANGLE Equations de degré 3 Soit P (X) = X 3 + bX 2 + cX + d un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On peut écrire P (X) = Q X + où Q(X) = X 3 + pX + q b2 bc 2b3 et q = d − + . 3 3 27 Il suffira de savoir calculer les racines de Q pour obtenir celles de P . p=c− Si l’on pose X = x+y, on trouve Q(X) = x3 + y 3 + (3xy + p)(x + y) + q , et donc, si (x, y) est solution du système (S) le nombre x + y est racine de Q. Inversement

Vidéo [000013] Racines carrées, équation du second degré Exercice 5 Calculer les racines carrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24i. Indication Correction Vidéo [000027] Exercice 6 1. Calculer les racines carrées de 1+i √ . 2 En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8). 2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12). 1 Indication Correction Vidéo [000029] Exercice 7 Résoudre dans C les équations suivantes : z2 + z + 1 = 0 ; z2

Ce nombre est appelé racine cubique de k . Il est noté 3 1 3 k ou aussi k . 3 On a par exemple 8 = 2 parce que 23 = 8. La touche "puissance" des calculatrices permet de donner des valeurs approchées des racines cubiques : avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71 . On a donc Exercice 01 3 5 ≈ 1,71 (voir réponses et correction) Au XVIème siècle, Jérôme Cardan, confronté à la résolution des équations du troisième degré, de la forme

forme exponentielle de z. (Pour les propri´et´es de celle-ci, consulter un livre de terminale. . . ) 1.4 1.4.1 Racines carr´ ees d’un nombre complexe Calcul des racines carr´ ees Soit z un complexe non nul, on cherche a` r´esoudre l’´equation ω 2 = z. On peut ´ecrire ω et z sous forme cart´esienne et identifier : si z = a + ib, (a, b) ∈ R2 et 2 2 ω = α + iβ, (α, β) ∈ R2 , on obtient √ α − β = a et 2αβ = b. Mais on a ´egalement, d’apr`es 2 2 2 2 l’´egalit´e des modules, α + β

valeurs obtenus avec une calculatrice) 2°) Montrer que l'on peut écrire f(x) = (x - α)(ax2 + bx + c) où a, b et c sont trois réels à déterminer. 3°) En déduire toutes les racines de f. Exercice 08 (voir réponses et correction) Résoudre les équations du second degré 1°) x2 - 6x = 0 2°) x2 - 9 = 0 5°) 3x2 - 9 = 0 4°) 2x2 + 7 = 0 Exercice 09 3°) x2 + 5x = 0 6°) 2x2 - 7x = 0 (voir réponses et correction) 1°) Déterminer des réels α et β tels que x2 - 4x + 2 = (x - α)2 + β . 2°)

structure  cristalline  dépendante  de  la  température.  Pour  des  températures  inférieures  à  882 °C  il  adopte  une  structure  hexagonale  compacte,  HC,  tandis  que  pour  des  températures supérieures à 882 °C il adopte une structure cubique centrée, CC.  a) Comment se nomme la transformation de phase qui a lieu au sein du titane à882 °C ?  (1 point)  Nom de la transformation de phase :  Transformation allotropique b) Calculez la compacité du titane lorsque celui‐ci adopte une structure CC

TRIGONOMETRIE Prérequis - équations et inéquations trigonométriques à l’aide du cercle trigonométrique. - propriétés des nombres complexes vues en terminale (module argument) Préambule Ce chapitre a pour objectifs : - de déterminer de nouvelles formules de trigonométrie à l’aide des nombres complexes - de transformer des expressions trigonométriques à l’aide de ces formules (linéarisation, développement de cos(px) ou sin(px) en fonction de cos x et sinx) - de résoudre des équations polynômiales à coefficients

limites par croissances comparées, - cosinus et sinus d’angles particuliers, - dérivabilité d’une fonction, - équation de tangente à une courbe, - variations d’une suite, - convergence d’une suite, - formule d’intégration par parties, - primitives et dérivées usuelles, - lois de probabilités, - écriture complexe d’une transformation, - traductions géométriques d’un module ou d’un argument, - équations d’un plan dans l’espace, etc. Ces questions supplémentaires (en plus de vos exercices) seront pour le