Équation cubique

Chapitre 3: Explication moléculaire des équations d’état des gaz 3.1 Théorie de Daniel Bernoulli [Groningue (Pays Bas) 1700, Bâle (Suisse), 1782], 1738 Théorie découverte en 1738, oubliée dans un bureau et redécouverte en 1859. Suppositions: • • • Un gaz est composé d'un très grand nombre de molécules qui se déplacent d'une façon aléatoire dans un espace confiné (Vg.: volume d'un cylindre); Les dimensions moléculaires sont faibles en comparaison de la distance moyenne entre les molécules; Les molécules

| |On part du principe que les ventes évoluent de manière linéaire. Il est possible de trouver l'équation de la droite (Y=aX+b). Grâce à | |cette équation on calcule les ventes dans années suivantes. | |Années

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Solutions périodiques d’équations différentielles On se propose, dans ce problème, d’étudier les solutions de certaines équations différentielles, et, en particulier, leurs solutions périodiques. On désigne par T un nombre réel > 0, par P l’espace vectoriel des fonctions définies sur R, réelles, continues et T -périodiques, et enfin par a un élément de P . On pose T A= 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Dynamique du corps rigide 14 7.6 Centre et tenseur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ´ 7.7 Equations de Newton et Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ii ` TABLE DES MATIERES Les liaisons 7.8 Encastrement . . . 7.9 Sph´rique . . . . . e 7.10 Pivot . . . . . . . . 7.11 Pivot glissant . . . 7.12 Appui plan . . . . 7.13 Glissi`re

avec x et y réels, z − 3iz − 3 + 6i = 0 ⇐⇒ x − iy − 3ix + x + 3y − 3 = 0 x + 3y − 3 = 0 3y −3+6i = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ −3x − y + 6 = 0 −9x − 3y + 18 = 0 x + 3y − 3 = 0 x + 3y − 3 = 0 x = 15 8 ⇐⇒ ⇐⇒ −8x − 3y + 15 = 0 −8x + 15 = 0 y = 3 8 3 15 +i . Donc cette équation a une solution : 8 8 2. OAB est équilatéral direct, donc B est l’image de A dans la rotation de centre O π π et d’angle . L’écriture complexe de cette rotation est : z = zei 3 . 3 π 3 1 Donc zB = zA ei 3 = (4 − 2i) +i = 2+ 3+i 2 3−1 . 2 2 π π → −−

Définition : le plan étant muni d’un repère orthonormal on appelle équation cartésienne d’une droite (d) du plan toute égalité du type ax + by +c = 0 avec a, b et c des réels fixés. Remarques : si M(x ; y) appartient à la droite (d) alors ces coordonnées vérifie l’égalité ax + by + c = 0. On connaît les équations de droite du type y = mx + p elles permettent de caractériser toutes les droites du plan sauf les droites verticales qui on des équations du type x = k. Ce type d’équation s’appelle l’équation réduite

Le problème du flot maximum Introduction à l’optimisation discrète Le problème du flot maximum Adam Ouorou France Télécom Division R&D ENSTA - Mars 2006 Introduction à l’optimisation discrète Le problème du flot maximum Plan 1 Le problème du flot maximum Formulation et propriétés Algorithme de Ford et Fulkerson Algorithme d’Edmonds et Karp Applications Introduction à l’optimisation discrète Le problème du flot maximum Formulation et propriétés Algorithme de Ford et

l’aide des 2 premières équations on tire des égalités fondamentales, soit on l’exprime : ****** En Français on dit que le consommateur est a l’équilibre (et maximise son utilité), lorsque les utilités marginales pondérées par les prix sont égales, ou encore lorsque le rapport des utilités marginales est égal au rapport des prix. ⎝ Signification des 3 écritures. Ce résultat est souvent appelé seconde loi de Gossen. - Le résultat obtenu est placé dans la 3ème équation ce qui va permettre d’obtenir

Corrigé du test Ch 8 : Equations différentielles Modèles d’évolution Exercice 1 (4 points) Les quatre questions sont indépendantes. 1) Déterminer les solutions de l’équation différentielle : 3 y’ – 2 y = 0 : L’équation s’écrit : y’ = y . Les solutions sont les fonctions : x Ce avec C constante. (0,5 pt) 2) Déterminer la fonction f solution de l’équation différentielle y’ + 5 y = 0 telle que la courbe représentative de f passe par le point A(

variables sont mesurées en terme d'écart à la moyenne - les facteurs communs et spécifiques sont non-corrélés - les facteurs uniques et les erreurs dans les équations ne sont pas corrélés - les variables exogènes et les erreurs dans les équations ne sont pas corrélées - aucune équation structurelle n'est redondante : (I-B)-1 existe. Les équations précédentes donnent l'équation de covariance suivante : Λ y (I − B) −1 (ΓΦΓ' + Ψ)( I − B)' −1 Λ' y +Θ ε Σ= Λ x ΦΓ' (I − B)' −1 Λ' y   y   y Λ y (I