Équation de d'Alembert

des matières 1 Nombres complexes 1.1 L’ensemble C des nombres complexes . . . . . . . 1.1.1 Définition et règles de calcul dans C . . . . 1.1.2 La fonction arc tangente . . . . . . . . . . 1.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Équations de type z 2 = α . . . . . . . . . 1.2.2 Équations de type az 2 + bz + c = 0, a = 0 2 Calcul matriciel 2.1 Matrice à coefficients dans K . . . . 2.2 Somme de matrices . . . . . . . . . 2.3 Multiplication par un élément de K 2.4 Produit de matrices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 CHAPITRE 9 • ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. . . . 221 Rappels de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.1 Les équations différentielles linéaires 9.2 Équations aux dérivées partielles Énoncés des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

exponentielles Fonctions circulaires et réciproques Fonctions hyperboliques et réciproques Suites numériques Suites particulières Intégrales définies Calcul des primitives Formules de Taylor Intégrales généralisées Équations différentielles du premier ordre Équations différentielles linéaires du second ordre Systèmes différentiels Séries numériques Suites de fonctions Séries de fonctions Analyse en 30 fiches 6 12 16 22 26 32 36 42 46 50 56 62 68 74 82 88 92 100

Denis Diderot, Jacques le fataliste et son maître, 1796, p36 L’auteur : Ecrivain & philosophe + figures majeures du mouvement des Lumières Défenseur de la raison critique et incarnation de l’honnête homme Ami de Rousseau et D’Alembert + rédige Encyclopédie avec D’Alembert en 1747 (travail durera 20ans) Affronte tout au long de sa vie la censure + doit s’exiler pour continuer à publier des œuvres Diderot = critique d’art (Salons), romancier (Jacques le Fataliste), auteur de théâtre (Le fils Naturel)

du projectile, et α l’angle entre l’horizontale et l’axe de tir initial. Les résultats sont « cohérents » avec les observations sur le terrain. En classe de terminale il est possible de déterminer avec un peu de physique et de mathématique les équations du mouvement d’un projectile, sur terre, « dans le vide ». Ce cas n’ayant aucune commune mesure avec la réalité, « on reste sur sa faim » pour toute association de l’utilité de faire des maths et de la physique pour comprendre les phénomènes du monde

[une] proportion d'une chose à une autre49 ». Mais alors que pour les dictionnaires du XVIIe siècle, l’analogie exprime une équation entre deux éléments, le Dictionnaire de l’Académie de 1762 signale qu’il s’agit du rapport « que diverses choses, divers sens d'un même mot ont ensemble50 ». De surcroît, Diderot propose une autre définition de l’analogie dans Le Rêve de d’Alembert : L’analogie dans les cas les plus composés n’est qu’une règle de trois qui s’exécute dans l’instrument sensible. Si

ez b b f (t)dt ≤ a (7.2) Racines n-i`mes. Pour tout entier n ≥ 1, l’´quation z n = 1 poss`de n racines distinctes, e e e appel´es racines n-i`mes de l’unit´ : ce sont les complexes ωk d´finis par e e e e ωk = e2i ´ (8.1) Equations diff´rentielles lin´aires du premier ordre. Soit a, b, f des fonctions d´finies et e e e continues sur un intervalle I , ` valeurs r´elles ou complexes, la fonction a ne s’annulant pas sur I . a e • Les solutions de l’´quation diff´rentielle

facheuse manie de parfois d´efier l’intuition. Discussion Pouvez-vous donner une d´efinition de la notion de l’infini tel qu’elle est utilis´e dans la vie de tous les jours ? Tel qu’elle est d´efinie en math´ematiques ? Le math´ematicien fran¸cais d’Alembert tenta ensuite de fournir un certain formalisme en introduisant la notion de limite, [...] le nombre duquel on se rapproche d’aussi pr`es que l’on veuille en se servant d’une suite d’approximations s´ecantes [...]. Sa d´efinition n’est gu`ere

e−t sin(tx) dt Exercice 60 [ 03346 ] [correction] [Développement en série entière de la fonction tangente] Soit (an )n∈N la suite réelle déterminée par les conditions n 2 a) en procédant à une intégration terme à terme. b) en déterminant une équation différentielle dont la fonction est solution. Exercice 55 Mines-Ponts MP [ 02848 ] [correction] Pour x ∈ ]−1, 1[ et α ∈ R, établir xn sin(nα) = arctan n n=1 +∞ a0 = 1 et ∀n 1, an + k=0 an−k =0 k! x sin α 1 − x cos α a) Calculer

Ce module de mécanique 1 traite les aspects vécus dans le quotidien et dans notre environnement à savoir : • • les grandeurs physiques et les opérateurs vectoriels ; la cinématique du point à une dimension et à deux dimensions : - recherche des équations paramétriques et des trajectoires d’un mobile, - calcul des vecteurs vitesses et accélérations dans différents systèmes de coordonnées - la loi de composition des vitesses et des accélérations la statique des solides (inventaire les forces agissant