Équation

essentiels : * l’aspect géométrique, en tant que lignes de niveau (définition par foyer, directrice et excentricité) ; * l’aspect algébrique, comme courbes définies par certaines équations du second degré. Pour l’exécution de stracés, nous reconnaîtrons dans ces coniques des courbes représentatives définies par une équation cartésienne ou polaire. 2 2.1 Définitions Définition 1 Soit F un point fixe, D une droite fixe et e un réel strictement positif avec F ∈ D. Pour tout point M du plan, on note

. . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fondements mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Cas d’une équation différentielle d’ordre 2 . . . . . . . 3.2.4 Stabilité en un point singulier . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Rappel sur la résolution d’un système différentiel linéaire 3.2.6 Nature des points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Segments

proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité, -3, est le coefficient de linéarité de f. Propriété : Étant donné un nombre a, la représentation graphique de la fonction linéaire f : x | ax est une droite D qui passe par l’origine O du repère. Une équation de cette droite D est y = ax. D passe par le point A(1 ; a), et le coefficient de linéarité a de la fonction linéaire f est le coefficient directeur de la droite D. Exemples : 1. La représentation graphique de la fonction linéaire g : x |

graphiquement ou algébriquement des problèmes du second degré. Pré requis : - Résolution graphique d’une équation de la forme f(x)=g(x) - Transformation et application de formules - Représentation graphique de fonctions usuelles Plan du cours : Activité soulevant une problématique I. Méthode et formules pour résoudre des équations de la forme : a x ² + b x + c = 0 où a non nul II. Signe de l’expression : a x ² + b x + c où a non

'+ 2 y = 0 ⇔ y ' = −2 y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : avec C∈R. 4 4 y + 3 y ' = 0 ⇔ y ' = − y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 3 x ! Ce−2 x , J x! 4 − x Ce 3 , avec C∈R. 1) Montrer qu’il existe exactement une fonction f, dérivable sur R, solution de l’équation 2y' = 5y et telle que f '(0) = 1. 5 2 y ' = 5 y ⇔ y ' = y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 2 fk : x ! f k'

Classe de Quatrième – Année 2006 53 INTRODUCTION Les activités numériques visent à étendre les notions et techniques vues antérieurement dans d’autres domaines comme l’ensemble des nombres rationnels, le calcul littéral, la résolution des équations et la statistique. A ce niveau, l’enseignant s’emploiera à initier l’élève à l’utilisation de l’outil mathématique dans la résolution des problèmes concrets, à faire le lien entre les mathématiques et la vie. 54 Programme de Mathématiques du

que a #$ , b#0 et 2. Etudes de limites. a) Etudier les limites de f en 1, ++ et ,+. b) Montrer que la droite D d'équation y#$ 2 est une asymptote à la courbe C représentative de f. c) Donner une équation de l'autre asymptote à C . 3. Etudier les variations de f . 4. Donner une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 2. i j Tracer C , D et T dans un repère orthonormal ! O ; - , - " (Produire le graphique sur la feuille annexe 2) x EXERCICE 3 – (3 points) On considère la fonction

. . . .. L’atmosphère standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Altitude et vitesse de l’avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vol en palier horizontal stabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Équations d’équilibre — Conséquences immédiates . . . . . .. Poussée requise, limitations — calcul des performances pour un avion à réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Puissance requise — calcul des performances pour un avion

quantitative à expliquer et plusieurs variables quantitatives explicatives indépendantes comme on l’admet généralement ; de déterminer les équations d’un ajustement polynomial non-linéaire pour l’analyse des liens entre deux variables quantitatives ; de déterminer les équations de surfaces de tendances ; d’analyser la rugosité du relief ; de déterminer les équations polynomiales d’un modèle de correction géométrique applicable à des vecteurs et/ou des données raster. 1. RÉGRESSION LINÉAIRE : LES PRINCIPES

la transformation chimique ( voir T.P.6) Lorsqu’on mélange les deux solutions précédentes, il se forme de l’ammoniac NH3 et de l’eau. NH4 + (aq) + Cl ֿ(aq) + Na +(aq) + HO ֿ(aq) ( NH3(aq) + Cl ֿ(aq) + Na +(aq) + H2O(l) Eliminons de cette équation les espèces qui ne participent pas à la réaction (ions spectateurs) : NH4 + (aq) + HO ֿ( NH3 (aq) + H2O (l) 2) Interprétation de la transformation Au cours de cette transformation, l’ion ammonium cède un proton H+. On écrit :