Équations de Lagrange

l’ingénieur - Équations différentielles ordinaires - M A - Prof. Anas RACHID S N ENSAM-Casablanca Université Hassan II - Casablanca. E : T Février 2015 F A R Anas RACHID (ENSAM-Casablanca) MTH3210:Équations différentielles Février 2015 1 / 42 5 1 0 Plan 1 Définitions 2 Équation d’ordre 1 Existence et unicité Équations linéaires d’ordre 1 Équations de Bernouilli Équations à variables séparables Équations exactes Facteurs intégrants Équations "homogènes" 3 M A - S N Équations d’ordre

13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS. 1. DEFINITION Soit l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants ( I ) a ∈ R∗ , b ∈ R c ∈ R ay ′′ + by ′ + cy = ϕ( x ) ϕ fonction continue sur un intervalle I de R L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est ay ′′ + by ′ + cy = 0 ( II ) L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. 2. RESOLUTION

18 7. Formule de Taylor-Lagrange et d´eveloppements limit´es . . 20 8. Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 9. Int´egrales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9.1 Int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9.2 Calcul de primitives et d’int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2nd Semestre 10. Equations diff´erentielles . . . .

2012 12/12/2011 Devoir Surveillé Durée : 1h45 Exercice 1: Deux masses égales (m) sont reliées entre elles par des ressorts ayant la même constante de raideur k comme représenté sur la figure 1.  Ecrire le Lagrangien du système et ces équations du mouvement  Déterminer les pulsations propres du système  Trouver le rapport entre les amplitudes des deux masses dans chacun des deux modes et écrire la solution générale pour le mouvement de chacune des masses Exercice 2 : Dans le système

de l’équilibre du consommateur ou optimum : a) La détermination algébrique de l’optimum : la méthode de Lagrange : sachant que le consommateur cherche à maximiser la satisfaction qu’il retire de la consommation des Biens et Services sous la contrainte de son budget, le problème qu’il doit résoudre s’écrit : MaxU(x,y) s.c. R = x.px+ y.py Pour résoudre ce problème, la méthode de Lagrange consiste à maximiser 1 nouvelle fonction appelée Lagrangien et obtenue en additionnant la fonction d’utilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 7 8 8 8 9 9 11 11 11 13 13 14 15 15 16 2 Caractérisation des extrema 2.1 Equation d’Euler, cas général . . . . . . 2.2 Inéquation d’Euler, cas convexe . . . . 2.3 Multiplicateurs de Lagrange, cas général 2.3.1 contraintes égalités . . . . . . . 2.3.2 contraintes inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

scientifiques se sont toujours int´ ress´ s a la e e e ` r´ solution num´ rique des probl` mes qu’ils rencontrent, l’analyse math´ matique e e e e classique ne pouvant r´ soudre tous les probl` mes qui se posent (par exemple e e en int´ gration, equations diff´ rentielles, interpolation, r´ solution d’´ quations non e ´ e e e lin´ aires ...). L’int´ rˆ t des scientifiques pour les m´ thodes et l’analyse num´ rique e ee e e en g´ n´ ral, n’a donc cess´ d’augmenter. Deux notions s’av` rent alors impore

coordonnées (0, 0, 1) qui appartiennent au cercle de R3 intersection de la sphère d’équation h1 = 0 : de centre (1, 2, −1) et de rayon 5, avec le plan d’équation h2 = 0. Cette méthode existe et est connue sous le nom de méthode des multiplicateurs de Lagrange. Avant de l’étudier, nous aurons besoin de faire quelques rappels sur les fonctions de plusieurs variables (comme les fonctions f et h que nous venons de croiser) et d’introduire quelques notions élémentaires de géométrie dans l’espace. 3.1

installer sur le vôtre. EQUATIONS DIFFERENTIELLES (DEUXIEME ANNEE) PLAN I : Généralités 1) Equation différentielle du premier ordre 2) Solution maximale 3) Théorème de Cauchy–Lipschitz 4) Exemples II : Systèmes d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III : Equations différentielles du second ordre : 1) Equations linéaires à coefficients constants

une fonction de courant ψ telle que : ∂ψ∂y=u-∂ψ∂x=v Ecoulement plan, stationnaire et irrotationnel ⇒ il existe un potentiel de vitesse ϕ tel que : ∂φ∂x=u∂φ∂y=v Lignes de courant : dxu=dyv=dzw ⇔v dx=u dy Trajectoires : Euler : Lagrange : Γ=Γxx=dudt+ududx+vdudy+wdudzΓyy=dvdt+udvdx+vdvdy+wdvdzΓzz=dwdt+udwdx+vdwdy+wdwdz Γ:Γx=dudtΓy=dvdtΓz=dwdt 2. Statique des fluides Loi fondamentale : Le système est soumis aux efforts de pesanteur et