Équations de Lagrange

lumineux avec le principe de Fermat. Lµ e µ a aussi, on doit choisir parmi tous les trajets possibles celui qui rend extr¶male une int¶grale qui n'est e e autre que la dur¶e du trajet. e Surtout, et bien qu'il s'agisse d'un formalisme datant, avec Lagrange et Hamilton, de la ¯n du e e e e XVIIIµme ou du XIXµme siµcle, elle est parfaitement adapt¶e aux approches modernes de la physique. Elle joue ainsi un r^le essentiel en m¶canique statistique, elle est a l'origine de la quanti¯cation o e µ des dynamiques

a)n+1 n! 1 0 (1 − s)n f (n+1) (a + s(b − a)) ds. Applications • D´ eveloppement en s´ erie enti` ere On va traiter l’exemple classique suivant. On d´efinit la fonction exponentielle exp comme l’unique fonction d´erivable sur IR, solution de l’´equation diff´erentielle : y ′(x) = y(x) pour tout x ∈ IR, y(0) = 1. Il vient imm´ediatement (par r´ecurrence) que exp est de classe C ∞ sur IR et que, pour tout n ∈ IN, exp(n) (0) = 1. On d´emontre sans probl`eme que exp ne s’annule pas (on rappelle pour

. . . . . . . . 31 2.5.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.4 Changements de variables usuels . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6.1 Equations différentielles linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . . 33 2.6.2 Equations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants 33 37 37 37 38 40 40 42 43 45 45 46 47 3 Géométrie 3.1 Géométrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . .

mais la réciproque n’est pas forcément vraie. 7. F est dérivable en a si ca dérivée existe et est finie. 8. Si la limite existe f’(a)=limx→afx-f(a)x-a est la pente de la tangent à la courbe d’équation y= f(x) au point P( a ;f(a) ) Une équation cartésienne de la tangente t au graphique de f au point d’abscisse a est t (a ; f(a)) ≡y-fa=f'a.x-a La fonction f est dérivable en a ssi la graphique cartésien de f admet une unique tangente non verticale au point de coordonnées (a ; f(a)).

de base quelque peu oubliées. D'autant que les thèmes ont été cho isis en fonction de l'usage que l'on peut avoir à en faire dans la vie quotidienne. Vouer sa vie au jeu (~~) les proportions ··:===:·· (. ··:::::·· ( . ::::::::: ) les équations ) le calcul mental () m Un talent de programmation Grilles logiques à jouer les logarithmes ·.......... , .., OCM, jeux . \ .....~ ... / et pro, lèmes b ............. ( . ) Solutions .. ... -------------------- ------~!'1- ~~~~-~-

peut voir sur le tableau 1, page suivante, les développements usuels en série entière. La série géométrique et l’exponentielle sont aussi valables pour une variable complexe. Démonstration : n xk |x|n+1 • Pour ex , on applique l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre n en 0 : ex − × e|x| . (n + 1)! k! |x|n+1 |x| Or lim e = 0, ce qui se montre facilement en montrant que la série converge. n→∞ (n + 1)!   n  xk  x   = 0 ce qui est le résultat annoncé.   D’où lim e −    n→∞ k!  k=0 n k=0

méthode du multiplicateur de Lagrange. L’introduction du multiplicateur de Lagrange permet de transformer un problème d’optimisation avec contrainte à n variables en un problème d’optimisation sans contrainte à n+1 variables. Lorsque le problème s’écrit : Maxf ( x1 , x 2 ,...x n )  s.c.g ( x1 , x 2 ,...x n ) = 0 On introduit la fonction : L( x1 , x 2 ,...x n , λ ) = f ( x1 , x 2 ,...x n ) + λg ( x1 , x 2 ,...x n ) L est appelé lagrangien et λ est un multiplicateur de Lagrange. Ainsi, dans notre exemple

- Dérivée o Matrices - Somme et produit de matrices - Déterminant d’une matrice carrée - Inversion d’une matrice carrée inversible ( 2 méthodes : matrice adjointe et matrice compagnon ) - Écriture matricielle d’un système linéaire o Équations linéaires Systèmes d’équations linéaires - Résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan (attention : exprimer des variables en fonction d’autres …) - Résolution d’un système linéaire par inversion de matrice - Résolution d’un

budgétaire dans le repère d'axes (x ; y) est une droite, dite droite de budget ou droite d'isocoût puisque tous les paniers des deux biens dont elle est le lieu géométrique ont un coût identique, égal au revenu du consommateur. Cette droite a pour équation : y = - (PX / PY) * x + R / PY Graphiquement parlant, comme le revenu est pleinement consommé, le panier optimal correspond nécessairement à l'un des points de la droite de budget (au-delà de la droite, les paniers ne peuvent être achetés faute d'un

d’utilisation de l’estimation par calage Mise en oeuvre du l’estimation par calage avec CALMAR 2 Estimateur par calage On cherche de nouveaux poids wk vérifiant les propriétés suivantes : Ils sont proches des poids de départ dk Ils vérifient les équations de calage wk x k = k∈s k∈U xk Mohammed El Haj Tirari Méthodes avancées de sondage Estimateur par calage Estimateur par calage Exemple d’utilisation de l’estimation par calage Mise en oeuvre du l’estimation par calage avec CALMAR 2