Espace de Minkowski

mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et les espaces de Hilbert 5.4 Le th´ or` me de Radon-Nikodym . . e e 5.5 La dualit´ des espaces Lp . . . . . . e La transform´ e de Fourier e 6.1 D´ finition et propri´ t´ s el´ mentaires e ee ´e 6.2 Injectivit´ et formule d’inversion . . e 6.3

L’INTEGRATION Gijs M. Tuynman 20 septembre 2007 1 ´ ´ THEORIE DE L’INTEGRATION 2 `res Table des matie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. Tribus La droite achev´ee Applications mesurables Espaces produits Subdivisions et fonctions ´etag´ees Mesures L’int´egrale de fonctions positives Le th´eor`eme de convergence montone de Beppo-Levi L’int´egrale de fonctions r´eelles ou complexes Le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue Unicit´e

l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de R, et donc Z = s∈R Cs . En particulier, tous les éléments de Z sont permutables, 0 et 1 appartiennent à Z, et Z est un corps fini. Posons |Z| = q. On peut considérer R et Cs comme des espaces vectoriels sur le corps Z et en déduire que |R| = q n , où n est la dimension de l’espace vectoriel R sur Z. De même, |Cs | = q ns pour des entiers ns ≥ 1 convenables. Supposons maintenant que R ne soit pas commutatif. Cela signifie que pour un certain

. . . . . . . . . . . . . . . . 91 91 92 93 94 96 98 99 A Rappels de probabilit´ e A.1 Espace de probabilit´e . . . . . . . . . A.2 Probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . A.3 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . A.4 Quelques in´egalit´es utiles . . . . . . A.5 Mesures σ-finies . . . . . . . . . . . . A.6 Moments d’ordre p, espaces Lp et Lp A.7 Variance, covariance . . . . . . . . . A.8 Ind´ependance. Mesures produits . . A.9 Fonction caract´eristique

(1996), qui ne se voulait ni innovatrice ni exhaustive, mais qui a exemplairement cerné et balisé (simplifié) le sujet d’ironie en focalisant sur la littérarité, a associé l’ironie, non seulement comme Schoentjes et d’autres, au sourire, mais à cet espace indécis entre le sourire et le rire. Selon lui le comique se subdivise en ces deux espèces, entre lesquelles hésite l’ironie. Le mot d’esprit de Freud a fourni d’importants aspects, psychanalytiques évidemment, à la compréhension du comique, mais

hétérogène qui se propose à la lecture, expérience irréductible, libre dans la fondation de ses propres lois. L'ambivalence de l'écriture meddebienne est elle-même une caractéristique de la ménippée ; elle "consiste dans la communication entre deux espaces, [...] celui de la représentation par le langage et celui de l'expérience dans le langage11". Représentation par le langage : c'est l'écriture comme pluralité de signifiants distribués dans une entreprise de parole, de dire signifiant appelant

quatre dimensions constitué par la réunion de l'espace et du temps comporte, d'après la théorie de la relativité restreinte, ce même caractère absolu que possédait, d'après la théorie antérieure, l'espace aussi bien que le temps, chacun séparément (Minkowski). De l'interprétation des coordonnées et du temps en tant que résultat de mesures, on tire ensuite l'influence du mouvement (relatif au système de coordonnées) sur la forme des corps et sur la marche des horloges, ainsi que l'équivalence de l'énergie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Conditionnement et indépendance 9.1 Espaces probabilisés . . . . . . . 9.2 Conditionnement et indépendance 9.3 Probabilités totales . . . . . . . . 9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . 10 Intégration 10.1 Intégrale d’une fonction continue 10.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . 10.3 Calcul

R´gularisation des fonctions . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Convolution des fonctions . . . . . . . . . 1.3.2 R´gularisation par convolution . . . . . . e 1.4 Partitions de l’unit´ . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5 Appendice : In´galit´s de H¨lder et de Minkowski e e o 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 E.D.P. d’ordre un 2.1 L’´quation de transport . . . . . . . . . . . . e 2.2 Equations de transport ` coefficients variables a 2.3 E.D.P. non lin´aires d’ordre un . . . . . . . . e 2

e 44 13 D´rivabilit´ e e 50 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 55 15 Calculs d’int´grales e 58 ´ 16 Equations diff´rentielles e 65 III ` ALGEBRE 2 70 17 Espaces vectoriels 70 18 Applications lin´aires e 73 19 Espaces vectoriels de dimension finie 78 20 Matrices 83 21 D´terminants e 90 IV ANALYSE 2 94 22 Suites : compl´ments e 94 23 Continuit´ et comparaison de fonctions e 95 24 D´rivabilit´