Espace euclidien

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali TD 07 Formes quadratiques K = R ou C. E un K-espace vectoriel normé. Exercice 1: Soit q : E → E. 1: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(−x) = q(x) et (x, y) → q(x + y) − q(x) − q(y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). 2: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(0) = 0 et (x, y) → q(x + y) − q(x − y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas

universités de Leipzig, Göttingen (il y eut Carl Friedrich Gauss cpomme professeur) et Halle. Il est connu pour sa découverte du fameux ruban de Möbius, une surface non orientable à deux dimensions avec seulement un bord quand elle est plongée dans un espace euclidien à trois dimensions. Möbius fut le premier à introduire les coordonnées homogènes en géométrie projective. Les transformées de Möbius, importantes en géométrie projective, qui ne doivent pas être confondues avec la transformation de la théorie

nombre important de variables, aucune représentation graphique simple ne permet de visualiser le nuage de points formé par les données. L’ACP propose une représentation dans un espace de dimension réduite, permettant ainsi de mettre en évidence d’éventuelles structures au sein des données. Pour cela, nous recherchons les sous-espaces dans lesquels la projection du nuage déforme le moins possible le nuage intial. Dans la suite, nous identifions un vecteur x ∈ Rp avec la matrice colonne de ses coordonnées

matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }. 1.a. Montrer que Im(f ) = (Ker(f ))⊥ . 1

par epi(f) = fX; ) 2 Rn  R f(x)  g: 1.2 Notions de norme et de distance Denition 4 La norme euclidienne ,ou longueur, d' un vecteur X est la ra- cine carree de la somme des carres de ses composantes. On la note jjXjj2: Nous avons donc kXk2 = Xn i=1 (xi)2 !1=2 ; avec X = (x1; x2; :::; xn) Denition 5 La distance euclidienne entre deux vecteurs X et Y est la norme euclidienne de leur dierence, soit kX Y k2 : Soit d1 une application de Rn  Rn a valeurs dans R+: Si n =

Analyse 3 Notes de cours Andr´ Giroux e D´partement de Math´matiques et Statistique e e Universit´ de Montr´al e e Mai 2004 Table des mati`res e 1 INTRODUCTION 1.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 L’ESPACE EUCLIDIEN 2.1 Propri´t´s alg´briques . ee e 2.2 Propri´t´s g´om´triques ee e e 2.3 Propri´t´s topologiques ee 2.4 Exercices . . . . . . . . 3 FONCTIONS 3.1 D´finition e 3.2 Propri´t´s ee 3.3 Exercices 3 4 5 5 8 12 18 . . . . . . . . . . . . . .

UPMC Cours BIMA Segmentation : introduction •  Angles d’attaques : •  Coté Optimisation (formalisme général) •  Minimisation globale sous contrainte entre l’image originale et l’image segmentée => méthodes basées optimisation •  Coté espace de description des pixels •  Analyse d’histogrammes, quantification => méthodes basées clustering •  Coté géométrie de l’image : approches régions •  Croissance, division => méthodes basées régions •  Difficultés : •  Problème de stabilité

1/2 si x = 1/2 si x > 1/2 ¯ X = [0, 1], f (x) = {1} si x < 1 et f (1) = {0} Th´or`me d’existence d’un EN e e Si le jeu N, (Si )i∈N , (ui )i∈N v´rifie les conditions suivantes pour tout i ∈ N e – l’ensemble des strat´gies Si est un sous espace Euclidien (Si ⊆ RK , K entier) e non vide, compact et convexe – la fonction d’utilit´ ui : S → R est continue e – la fonction ui (·, s−i ) : Si → R est quasi-concave pour tout s−i ∈ S−i alors il existe un ´quilibre de Nash en strat´gies pures e e 26/ `

mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et les espaces de Hilbert 5.4 Le th´ or` me de Radon-Nikodym . . e e 5.5 La dualit´ des espaces Lp . . . . . . e La transform´ e de Fourier e 6.1 D´ finition et propri´ t´ s el´ mentaires e ee ´e 6.2 Injectivit´ et formule d’inversion . . e 6.3

. . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens . . . . 1.3.2 Espaces euclidiens . . . . . . . 1.3.3 Automorphismes orthogonaux 7 7 7 7 8 10 11 11 12 12 12 13 14 14 15 15 17 17 17 18 18 19 19 20 21 21 22 23 23 23 24 25 25 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .