Espace mesurable

ensembles A P(X) est dite tribu sur X si (a) X 2 A, (b) A 2 A ) Ac := X n A 2 A, 1 S Ai 2 A (c) (Ai )i2N A ) i=1 (Stabilité par réunion dénombrable). Si A est une tribu sur X, on dit que (X; A) est un espace mesurable et un ensemble A 2 A est dit A mesurable ou simplement mesurable s’ n’ a pas de confusion à craindre. il y P(X) est la plus grande tribu sur X tandis que f;; Xg est la plus petite. Si A X, f;; A; Ac ; Xg est la plus petite tribu sur X contenant A. La tribu engendrée par une

DE L’INTEGRATION Gijs M. Tuynman 20 septembre 2007 1 ´ ´ THEORIE DE L’INTEGRATION 2 `res Table des matie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. Tribus La droite achev´ee Applications mesurables Espaces produits Subdivisions et fonctions ´etag´ees Mesures L’int´egrale de fonctions positives Le th´eor`eme de convergence montone de Beppo-Levi L’int´egrale de fonctions r´eelles ou complexes Le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue Unicit´e

donn´es sans d´monstration. Elles peuvent ˆtre trait´es en exercice. e e e e 1. Lois discr`tes usuelles e 1.1. Mesures de Dirac ´ Definition 1. — Soient ÔE, E Õ un ensemble mesurable et x0 µ:E B Ø0, 1Ù µÔB Õ È E un point. L’application 1 0 si x0 È B, sinon, est une mesure de probabilit´ sur ÔE, E Õ. Si le singleton Øx0 Ù est mesurable, l’application µ e est alors dite mesure de Dirac en x0 , ou encore masse de Dirac en x0 , et est not´e δØx0 Ù (la e e notation εØx0 Ù est aussi souvent employ´e). Une

Table des mati`res e 1 Mesures 1.1 Tribus . . . . . . . . 1.2 Fonctions mesurables 1.3 Classe monotone . . 1.4 Mesures . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3 . . . . . 4 4 5 6 6 7 . . . . 8 8 9 9 11 4 Ind´pendance e 4.1 Ind´pendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2 Vecteurs Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 14 5 Convergence de suites de variables al´atoires

C ⊂ σ (D ) ⇒ σ (C ) = σ (D ) D ⊂ σ (C ) Définition (Tribu Produit) : Soient (Ω, F ) et (Ω , F ) deux espaces mesurables. On appelle tribu produit de F et F et on note F F , la tribu engendrée par la famille des pavés mesurables { A × A | A ∈ F et A ∈ F }. L’espace mesurable (Ω × Ω , F F ) est appelé espace mesurable produit de (Ω, F ) et (Ω , F ) Définition (Mesure) : Soit (Ω, F ) un espace mesurable. On dit que ν : F −→ R ∞ est une mesure positive ssi : 1. ∀A ∈ F : 0 ≤ ν (A) 2. ∀i ∈ N, Ai ∈ F alors

donn´ees sans d´emonstration. Elles peuvent ˆetre trait´ees en exercice. 1. Lois discr` etes usuelles 1.1. Mesures de Dirac D´ efinition 1. — Soient ÔE, E Õ un ensemble mesurable et x0 Ø0, 1Ù µÔB Õ µ:E B 1 0 È E un point. L’application si x0 È B, sinon, est une mesure de probabilit´e sur ÔE, E Õ. Si le singleton Øx0 Ù est mesurable, l’application µ est alors dite mesure de Dirac en x0 , ou encore masse de Dirac en x0 , et est not´ee δØx0 Ù (la notation εØx0 Ù est aussi souvent employ´ee). Une variable

ℑ) où Ω est un ensemble non vide et ℑ une tribu de parties de Ω, est appelé espace mesurable. Dans le cas où Ω est l’ensemble des résultats possible d’une expérience, un espace mesurable (Ω,ℑ) est appelé espace probabilisé. /* Cette définition ne veut rien dire j’y consens, mesurable ou probabilisable, la différence est bien maigre… */ 1.3. Tribus Boréliennes (de ce brave Borel, Emile de son prénom) : Soit (Ω,d) un espace métrique, Ω non vide. On note ?Ω l’ensemble des parties ouvertes de (Ω,d),

CHAPITRE XIII De l'experience IL N'EST desir plus naturel que le desir de cognoissance. Nous essayons tous les moyens qui nous y peuvent mener. Quand la raison nous faut, nous y employons l'experience : Per varios usus artem experientia fecit : Exemplo monstrante viam. Qui est un moyen de beaucoup plus foible et plus vil. Mais la verité est chose si grande, que nous ne devons desdaigner aucune entremise qui nous y conduise. La raison a tant de formes, que nous ne sçavons à laquelle nous prendre

conditions de mise en œuvre : conditions matérielles , faisabilité. Référence aux : Institution Programmes Elèves Course : SVT( respiration – muscles – carburant ) Santé ( hygiène – SGVP ) - Maths - Français. Danse : Maths ( géométrie – espace - temps ) Arts plastiques - Français : vocabulaire – langage. Qui est- il ?…aux plans… Moteur Psychologique Morphologique Cognitif Affectif Energétique OBLIGATOIRE E. Legeais , P.Agr. EPS IUFM Pays de la Loire Site du Mans.

La notion de psychomotricité au service de la structuration d’un espace intérieur Lorsqu’il s’agit de l’aménagement d’un espace donné, le designer intérieur doit avant tout prendre en compte le rapport existant avec l’individu qui l’occupera. Eventuellement, l’organisation spatiale est un procédé qui va conditionner implicitement le comportement des usagers vis-à-vis de cet espace et ceci grâce à ses caractéristiques physiques, au sens qui lui est donné et à la manière dont les caractéristiques