Espace topologique

tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre. En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui

appelle norme sur  n toute application x  x de  n dans   telle que : (i) x  0  x  0 (ii)   IK, x  E, x  ||x (iii) x, y  E 2 x  y  x  y (l’inégalité triangulaire) L’espace  n étant muni de la norme   est dit espace normé. b) Exemples: Sur  l’application valeur absolue x  |x| est une norme. Sur  n les applications   1 : x  |x k | k1 n ,  2 : x  |x k |2  1/2 et k1 n    : x  sup 1  k  n |x k | sont des normes. Remarque:

emploierons dans ce cours et de pr´senter les probl`mes que nous ´tudierons. Nous come e e men¸ons d’abord par de brefs rappels et par des notations et d´finitions c e diverses. 1. D´finitions, notations et rappels. e 1.1. Points et sous-ensembles des espaces euclidiens. R sera le corps des nombres r´els et C sera celui des nombres complexes. Nous travaillerons e la plupart du temps dans Rn et n d´signera toujours la dimension. Les e n points de R seront g´n´ralement not´s x, y, ξ, η ; les coordonn´es

choisit la technologie à utiliser : Dans noter exemple, nous choisirons la technologie : Sm_Int_Model_List comme modèle. Une dernière fenêtre de l’assistant s’ouvre, récapitulant la configuration que nous avons choisi. On clique alors sur OK. Un espace de travail s’affiche alors en fonction des paramètres choisis et une fenêtre contenant la palette d’objet s’ouvre. L’option de configuration rapide permet de sélectionner la configuration du réseau, le type de nœuds utilisés ainsi que le type de

d’exigences pour la e suite du cursus, ` d´gager les points cl´s permettant de structurer le travail pera e e sonnel de l’´tudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Par exemple, e il nous a sembl´ important de ne pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on ` ce que le langage de la topologie g´n´rale ne soit plus un nouvel obstacle c a e e a ` franchir (de plus les topologies non m´trisables arrivent tr`s vite : convere e gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski

ℑ) où Ω est un ensemble non vide et ℑ une tribu de parties de Ω, est appelé espace mesurable. Dans le cas où Ω est l’ensemble des résultats possible d’une expérience, un espace mesurable (Ω,ℑ) est appelé espace probabilisé. /* Cette définition ne veut rien dire j’y consens, mesurable ou probabilisable, la différence est bien maigre… */ 1.3. Tribus Boréliennes (de ce brave Borel, Emile de son prénom) : Soit (Ω,d) un espace métrique, Ω non vide. On note ?Ω l’ensemble des parties ouvertes de (Ω,d),

Topologie Générale - UE045 - Année 2009-2010 2009 Contrôle continu Durée - le 14 octobre : 1 heure Les documents, calculatrices non autorisés. Questions de cours Soit (E, T) un espace topologique. 1. De combien de topologies peut-on munir E s'il contenait 2 éléments? 2. Soit A un sous ensemble de E. Vérifier que GEA = GgA. et que GEA. c;A = o 3. Soit maintenant BeA c E. Vérifier que la topologie (TA)B induite par TA sur B n'est autre que la topologie

. . 1.2.3 Une ligne qui remplit un carr´ . . . . . . . . e 1.2.4 Koch en renfort de Weierstrass . . . . . . . 1.2.5 Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Au sujet de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 La dimension topologique . . . . . . . . . . 1.3.2 La dimension de Hausdorff-Besicovitch . . . 1.3.3 La dimension des boˆ (box-counting) . . . ıtes 1.4 Deux probl`mes physiques . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . 1.4.2 La longueur

d’Ascoli est un profond résultat d’analyse fonctionnelle. Il nous servira à illustrer la puissance du formalisme topologique sur des espaces abstraits comme les espaces de fonctions. Afin d’établir sa démonstration, nous introduirons la notion d’espaces précompacts. La précompacité nous donnera un critère de compacité des espaces complets. 2 Précompacité On considère dans cette partie un espace métrique (X,d). p ¦ ¢ £ £ £ ¤¤¥¤¢ © ¡ Définition On dit que la famille xi ; i i 1  ¢ ©  ¢ © 1

les appliquées sur des exemples de fractales dans la nature et dans le corps humain . I/ Les propriétés des fractales Un objet fractal : - a une dimension strictement supérieure à sa dimension topologique (de base) - a une dimension non entière - fait apparaître la notion de l'infini (ex: longueur se répète à l’infini) - possède une autosimilarité ; c'est-à-dire qu'il est possible de retrouver des motifs de la fractale dans son ensemble à l'intérieur