Espace vectoriel quotient

suivantes de la g´om´trie euclidienne plane : calcul e a e e vectoriel, barycentre, alignement, orthogonalit´, distance, mesure d’angle. e a) Corps C des nombres complexes Corps C des nombres complexes. Parties r´elle et imaginaire e d’un nombre complexe, conjugaison dans C. Le plan ´tant muni d’un rep`re orthonormal, affixe d’un e e point, d’un vecteur ; image d’un nombre complexe. Module d’un nombre complexe, module d’un produit, d’un quotient. In´galit´ triangulaire ; interpr´tation en termes de e e

l’´tudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Par exemple, e il nous a sembl´ important de ne pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on ` ce que le langage de la topologie g´n´rale ne soit plus un nouvel obstacle c a e e a ` franchir (de plus les topologies non m´trisables arrivent tr`s vite : convere e gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski. . .). Nous avons laiss´ de e cˆt´, en le signalant, la notion de filtre qui ` ce niveau introduirait plus de oe a confusion

résultats 1.1 Espaces Vectoriels Réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Notion d'espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Sous-espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Bases et Dimension d'un espace vectoriel réel . . . . . 1.1.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Complexication d'un espace vectoriel réel . . . . . . . Espaces anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espaces anes . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes Groupes quotients 0.4 0.5 0.6 0.7 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et algèbres L'anneau des polynômes Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A[X] 1 La division euclidienne dans l'anneau Z et ses

Polynômes factoriels On note ℝ [X ] la ℝ algèbre des polynômes réels en l’indéterminée X . Pour n ∈ ℕ , ℝ n [X ] désigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆

44 13 D´rivabilit´ e e 50 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 55 15 Calculs d’int´grales e 58 ´ 16 Equations diff´rentielles e 65 III ` ALGEBRE 2 70 17 Espaces vectoriels 70 18 Applications lin´aires e 73 19 Espaces vectoriels de dimension finie 78 20 Matrices 83 21 D´terminants e 90 IV ANALYSE 2 94 22 Suites : compl´ments e 94 23 Continuit´ et comparaison de fonctions e 95 24 D´rivabilit´

premi`re ann´e, la maˆ e e ıtrise du calcul diff´rentiel et int´gral ` une variable et de ses interventions en g´om´trie e e a e e diff´rentielle plane constitue un objectif essentiel. e En seconde ann´e, le programme introduit le concept d’espace vectoriel norm´ et d’application lin´aire continue, e e e afin de fournir un cadre coh´rent pour l’´tude des suites, des s´ries et des fonctions et celle des suites et des s´ries e e e e de fonctions. L’int´gration, la repr´sentation des fonctions, notamment

. 23 23 24 24 24 24 25 4. Arithmétique de 4.1. 4.2. 4.3. 10 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . 10 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . 10 14. Espaces Préhilbertiens Réels et Euclidiens 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . Esp. vect. préhilbertiens et euclidiens . . Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endomorphismes symétriques

différentielles non linéaires 68 1re année et 2e année Suites numériques 1re année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70 Suites particulières 1re année V Table des matières Partie 2 – Analyse dans Rn 24 25 26 27 28 29 30 Espaces vectoriels normés 76 2e année 31 32 33 34 35 36 Intégrales curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 Suites de fonctions 2e année Calcul différentiel dans Rn 1re année 83 86 Séries de fonctions 2e année

Un exemple d’espace vectoriel 114 125 5 Espaces vectoriels applications linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 131 131 138 142 144 148 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation 3. Autres réductions — Applications 153 153 156 165 Probabilités 173 7 Probabilité sur un ensemble fini 1. Espaces probabilisés finis 2