Espace vectoriel quotient

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de « vecteurs » dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions, etc. Le problème est que, contrairement à R2 ou R3 , il est difficile de visualiser des vecteurs dans un espace de dimension infinie. . . quand ce sont des fonctions par exemple ! Avoir assimilé la théorie de la dimension finie serait une bonne idée avant d’attaquer ce chapitre.

10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 B) MATRICES E,F et G désignent toujours des K-espaces vectoriels. RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de [|1, n|] × [|1, p|] dans K ; pour (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|] , A (i, j) est souvent noté de façon indicielle aij , de sorte que A est notée (aij )1 i n ; 1 j p j     a11 a12 a1p a1j  a21 a22   a2p  ... = i   on la représente aussi par le tableau

Exemple : A, B et C sont trois points distincts. Exprimer la somme vectorielle AB + 3AC − 2BC en fonction −−→ −→ des seuls vecteurs AB et AC. −−→ −→ −−→ AB + 3AC − 2BC −−→ −→ −−→ −→ = AB + 3AC − 2 BA + AC −−→ −→ −−→ −→ = AB + 3AC − 2BA − 2AC −−→ −→ −−→ −→ = AB + 3AC + 2AB − 2AC −−→ −−→ −→ −→ = AB + 2AB + 3AC − 2AC −−→ −→ = 3AB + AC 7. Construction du produit d’un vecteur par un réel. 8. Exprimer une condition sous forme vectorielle. 7 (1) (2) (3) (4) (5) 3.2 Coordonnées de ku 4 COLINÉARITÉ

chapitre 6 vecteurs et repérages. I Quelques rappels. définition : → un vecteur non nul u est caractérisé par : ............................................................ ............................................................ ............................................................ → le vecteur u se représente à partir d’un ...................... par le vecteur ........ où B est le translaté de A par la ...................... de ............................ : on note ........ =

by ′ + cy = ϕ( x ) ϕ fonction continue sur un intervalle I de R L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est ay ′′ + by ′ + cy = 0 ( II ) L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. 2. RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II). On forme l'équation du second degré appelée équation caractéristique ar 2 + br + c = 0 ( IIc ) 1. ∆ = b 2 − 4 ac > 0 L'équation caractéristique admet deux racines réelles

Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Chapitre 2 : Prof. Mohamed El Merouani REGRESSION LINÉAIRE MULTIPLE Plan du Chapitre : I.- Position du problème II.- Hypothèses d’application de la Méthode de moindres carrées III.- Estimation des composants du vecteur A lM ®E IV.- Espérance mathématique et matrices des variances covariances des estimateurs …à suivre… I.- Position du problème : Le modèle de régression linéaire multiple est de la forme : ero Y = a1 X 1 + a2 X 2 + L

encore plus. a Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Alg`bre lin´aire (r´vision programme sup) e e e Arithm´tique dans Z et K[X] e R´duction des endomorphismes e Espaces vectoriels norm´s e Calcul diff´rentiel e Dualit´ e Coniques-Quadriques Espaces vectoriels euclidiens Int´gration vectorielle e S´ries dans un Banach e Suites et s´ries de fonctions e S´ries enti`res et fonctions holomorphes e e Int´grale d´pendant d’un param`tre e e e S´ries de Fourier e ´ Equations diff´rentielles

l’intégration est centrale, avec les théorèmes de Fubini et de convergence dominée (par exemple, dans l’exercice 10, le fait sous-jacent qu’une suite de fonctions uniformément bornées qui converge simplement vers zéro converge faiblement au sens des espaces de Banach). Cette théorie de la mesure permet également de donner, au chapitre X, des exemples intéressants d’algèbres de Banach dont le groupe des éléments inversibles contient « beaucoup » de non-exponentielles, et qui sont liées à l’analyse harmonique

[Neimark 72]. Pour un bras manipulateur, elle est d´ finie par un vecteur q de n coordonn´ es ind´ pendantes appel´ es coordonn´ es e e e e e g´ n´ ralis´ es. La configuration est alors naturellement d´ finie sur un espace N dont la e e e e dimension n est appel´ e indice de mobilit´ . N est appel´ espace des configurations. Les e e e coordonn´ es g´ n´ ralis´ es correspondent aux grandeurs caract´ ristiques des diff´ rentes e e e e e e articulations : angles de rotation pour les liaisons roto¨des, translations