Espace vectoriel quotient

R3 . 1. (a) Montrer que Ker(f ) est une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant sa troisi`me e coordonn´e ´gale ` 1. On notera u1 ce vecteur. e e a (b) Donner la dimension et une base de Im(f ). 2. (a) Montrer que {X ∈ R3 / f (X) = 2X} est une droite vectorielle dont donnera un vecteur directeur ayant sa troisi`me coordonn´e ´gale ` 1. On notera u2 ce vecteur. e e e a (b) Montrer que Ker(f + IdE ) est aussi une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant (encore)

l’espace vectoriel R2 sur R et la bijection de R2 sur C d´finie c e e par (a, b) → a + ib, i ´tant d´fini par i2 = −1 e e 2 2.1 Diff´rentes ´critures des nombres complexes e e ´criture cart´sienne ou alg´brique e e e Si z ∈ C, z s’´crit de fa¸on unique z = a + ib. a = Re(z) est la partie r´elle de z et b = Im(z) sa e c e partie imaginaire. Exercice 1 Calculer (2 + 3i)(4 − i), (2 + i)2 , (3 + 4i)(3 − 4i) et (2i)2 . R´p. e 11 + 10i 3 + 4i 25 −4 C peut ˆtre consid´r´ comme un espace vectoriel de dimension

=b−b=0 Corollaire: Les solutions S de (E ) forment un espace vectoriel et les solution S de (E) forment un espace affine de direction (E ). Preuve : trivial. La proposition précédente peut s’écrire : La solution générale d’une équation différentielle linéaire est la somme d’une solution particulière de l’équation avec second membre et de la solution générale de l’équation sans second membre. Remarque 1.2 Si E est une espace vectoriel un espace affine E de direction E est un ensemble de la forme {a

polynomiale homogène sur R3 de degré N , x1 ∂f ∂f ∂f + x2 + x3 =Nf . ∂x1 ∂x2 ∂x3 8. On désigne par FN l’espace vectoriel des polynômes homogènes sur R3 de degré N . Trouver la dimension de FN . ∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2 le laplacien sur les fonctions sur R3 . Une fonction f de classe ∂x2 ∂x2 ∂x3 1 2 sur R3 telle que ∆f = 0 est appelée harmonique. Soit C 9. Soit ∆ = HN = {f ∈ FN | ∆f = 0} l’espace vectoriel réel des polynômes homogènes harmoniques sur R3 de degré N . On se propose de déterminer la dimension de HN

(t0 , Y0 ) ∈ I × Kn il passe une seule solution de (1.1) définie sur I. Preuve. Voir Chapitre 2. Ce résultat implique que 1. S0 = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t)} est un espace vectoriel de dimension n. Preuve. S0 , muni des opérations somme de deux solutions et produit d’un scalaire λ ∈ K et d’une solution est un espace vectoriel. S0 a dimension n, car si on fixe t0 ∈ I, alors Φt0 : S0 Y → → Kn Y (t0 ) est un isomorphisme linéaire, grâce au théorème 1.1.2. 2. S = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t)

2006/2007 - Espaces vectoriels 1. Soit E = R∗ × R. On d´finit pour (x, y) et (x , y ) dans E et λ ∈ R : e + (x, y) + (x , y ) = (xx , y + y ) et λ(x, y) = (xλ , λy) V´rifier que E muni de ces lois est un R-espace vectoriel. e 2. 3. Soient X ⊂ R et E = f ∈ RR , ∀x ∈ X, f (x) = 0 . Montrer que E est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles. A|x| pour On note E l’ensemble des fonctions f : R −→ R telles qu’il existe a ∈ R+ et A ∈ R+ avec |f (x)| tout x a. Montrer que E est un R-espace vectoriel

créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. G´eom´etrie affine et euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 Barycentre et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 G´eom´etrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. Applications de R dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.1

Chapitre 9 ´ ´ ESPACES PREHILBERTIENS REELS ET COMPLEXES 1 Structure pr´hilbertienne e 1.1 Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemples usuels d’espaces pr´hilbertiens r´els . . e e 1.3 Norme euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e 1.4 Espaces pr´hilbertiens complexes . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel réel CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL I- Loi de composition interne et Loi de composition externe......................................................................2 I-1 Loi de composition interne (L.C.I.).................................................................................................................2 I-1-1 Définition...................................................................